Algèbre Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \sin (x) \\ 1 & 0 & \cos (x) \\ 1 & \sec (x) & - \sin (x) \end{array}]$

Étape 1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \sin (x) \\ 1 & 0 & \cos (x) \\ 1 & \frac{1}{\cos (x)} & - \sin (x) \end{array}]$

Étape 2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \sin (x) \\ 1 & 0 & \cos (x) \\ 1 & \sec (x) & - \sin (x) \end{array}]$

Étape 3

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

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Étape 3.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 3.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 3.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & \cos (x) \\ 1 & - \sin (x) \end{array} |$

Étape 3.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & \cos (x) \\ 1 & - \sin (x) \end{array} |$

Étape 3.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & \sin (x) \\ 1 & - \sin (x) \end{array} |$

Étape 3.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & \sin (x) \\ 1 & - \sin (x) \end{array} |$

Étape 3.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & \sin (x) \\ 1 & \cos (x) \end{array} |$

Étape 3.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$- \sec (x) | \begin{array}{c} 1 & \sin (x) \\ 1 & \cos (x) \end{array} |$

Étape 3.9

Add the terms together.

$0 | \begin{array}{c} 1 & \cos (x) \\ 1 & - \sin (x) \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & \sin (x) \\ 1 & - \sin (x) \end{array} | - \sec (x) | \begin{array}{c} 1 & \sin (x) \\ 1 & \cos (x) \end{array} |$

Étape 4

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & \cos (x) \\ 1 & - \sin (x) \end{array} |$ .

$0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & \sin (x) \\ 1 & - \sin (x) \end{array} | - \sec (x) | \begin{array}{c} 1 & \sin (x) \\ 1 & \cos (x) \end{array} |$

Étape 5

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & \sin (x) \\ 1 & - \sin (x) \end{array} |$ .

$0 + 0 - \sec (x) | \begin{array}{c} 1 & \sin (x) \\ 1 & \cos (x) \end{array} |$

Étape 6

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & \sin (x) \\ 1 & \cos (x) \end{array} |$ .

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Étape 6.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + 0 - \sec (x) (1 \cos (x) - \sin (x))$

Étape 6.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$0 + 0 - \sec (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 7

Simplifiez le déterminant.

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Étape 7.1

Associez les termes opposés dans $0 + 0 - \sec (x) (\cos (x) - \sin (x))$ .

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Étape 7.1.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 - \sec (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 7.1.2

Soustrayez $\sec (x) (\cos (x) - \sin (x))$ de $0$ .

$- \sec (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 7.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{1}{\cos (x)} (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) - \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 7.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{\cos (x)}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{\cos (x)} \cos (x) - \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Étape 7.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{\cos (x)} \cos (x) - \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Étape 7.4.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 - \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Étape 7.5

Multipliez $- \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$ .

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Étape 7.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} \sin (x)$

Étape 7.5.2

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $1$ .

$- 1 + \frac{1}{\cos (x)} \sin (x)$

Étape 7.5.3

Associez $\frac{1}{\cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$- 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.6

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$- 1 + \tan (x)$