Algèbre Exemples

$x^{4} {(a - 2 x^{3})}^{2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d a} [f (a) g (a)]$ est $f (a) \frac{d}{d a} [g (a)] + g (a) \frac{d}{d a} [f (a)]$ où $f (a) = x^{4}$ et $g (a) = {(a - 2 x^{3})}^{2}$ .

$x^{4} \frac{d}{d a} [{(a - 2 x^{3})}^{2}] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Étape 2

Réécrivez ${(a - 2 x^{3})}^{2}$ comme $(a - 2 x^{3}) (a - 2 x^{3})$ .

$x^{4} \frac{d}{d a} [(a - 2 x^{3}) (a - 2 x^{3})] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Étape 3

Développez $(a - 2 x^{3}) (a - 2 x^{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} \frac{d}{d a} [a (a - 2 x^{3}) - 2 x^{3} (a - 2 x^{3})] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} \frac{d}{d a} [a \cdot a + a (- 2 x^{3}) - 2 x^{3} (a - 2 x^{3})] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} \frac{d}{d a} [a \cdot a + a (- 2 x^{3}) - 2 x^{3} a - 2 x^{3} (- 2 x^{3})] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$x^{4} \frac{d}{d a} [a^{2} + a (- 2 x^{3}) - 2 x^{3} a - 2 x^{3} (- 2 x^{3})] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Étape 4.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{4} \frac{d}{d a} [a^{2} - 2 a x^{3} - 2 x^{3} a - 2 x^{3} (- 2 x^{3})] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Étape 4.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{4} \frac{d}{d a} [a^{2} - 2 a x^{3} - 2 x^{3} a - 2 \cdot - 2 x^{3} x^{3}] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Étape 4.1.4

Multipliez $x^{3}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.4.1

Déplacez $x^{3}$ .

$x^{4} \frac{d}{d a} [a^{2} - 2 a x^{3} - 2 x^{3} a - 2 \cdot - 2 (x^{3} x^{3})] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Étape 4.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4} \frac{d}{d a} [a^{2} - 2 a x^{3} - 2 x^{3} a - 2 \cdot - 2 x^{3 + 3}] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Étape 4.1.4.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$x^{4} \frac{d}{d a} [a^{2} - 2 a x^{3} - 2 x^{3} a - 2 \cdot - 2 x^{6}] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Étape 4.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$x^{4} \frac{d}{d a} [a^{2} - 2 a x^{3} - 2 x^{3} a + 4 x^{6}] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Étape 4.2

Soustrayez $2 x^{3} a$ de $- 2 a x^{3}$ .

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Étape 4.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$x^{4} \frac{d}{d a} [a^{2} - 2 a x^{3} - 2 a x^{3} + 4 x^{6}] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Étape 4.2.2

Soustrayez $2 a x^{3}$ de $- 2 a x^{3}$ .

$x^{4} \frac{d}{d a} [a^{2} - 4 a x^{3} + 4 x^{6}] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Étape 5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a^{2} - 4 a x^{3} + 4 x^{6}$ par rapport à $a$ est $\frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4 a x^{3}] + \frac{d}{d a} [4 x^{6}]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4 a x^{3}] + \frac{d}{d a} [4 x^{6}]) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ est $n a^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{4} (2 a + \frac{d}{d a} [- 4 a x^{3}] + \frac{d}{d a} [4 x^{6}]) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Étape 7

Comme $- 4 x^{3}$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $- 4 a x^{3}$ par rapport à $a$ est $- 4 x^{3} \frac{d}{d a} [a]$ .

$x^{4} (2 a - 4 x^{3} \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [4 x^{6}]) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ est $n a^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{4} (2 a - 4 x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d a} [4 x^{6}]) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Étape 9

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x^{4} (2 a - 4 x^{3} + \frac{d}{d a} [4 x^{6}]) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Étape 10

Comme $4 x^{6}$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $4 x^{6}$ par rapport à $a$ est $0$ .

$x^{4} (2 a - 4 x^{3} + 0) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Étape 11

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.1

Additionnez $2 a - 4 x^{3}$ et $0$ .

$x^{4} (2 a - 4 x^{3}) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Étape 11.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{4} (- 4 x^{3} + 2 a) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Étape 12

Comme $x^{4}$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $x^{4}$ par rapport à $a$ est $0$ .

$x^{4} (- 4 x^{3} + 2 a) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \cdot 0$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} (- 4 x^{3}) + x^{4} (2 a) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \cdot 0$

Étape 13.2

Associez des termes.

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Étape 13.2.1

Multipliez $x^{4}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.2.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$x^{3} x^{4} \cdot - 4 + x^{4} (2 a) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \cdot 0$

Étape 13.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{3 + 4} \cdot - 4 + x^{4} (2 a) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \cdot 0$

Étape 13.2.1.3

Additionnez $3$ et $4$ .

$x^{7} \cdot - 4 + x^{4} (2 a) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \cdot 0$

Étape 13.2.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x^{7}$ .

$- 4 \cdot x^{7} + x^{4} (2 a) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \cdot 0$

Étape 13.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $x^{4}$ .

$- 4 x^{7} + 2 \cdot x^{4} a + {(a - 2 x^{3})}^{2} \cdot 0$

Étape 13.2.4

Multipliez ${(a - 2 x^{3})}^{2}$ par $0$ .

$- 4 x^{7} + 2 x^{4} a + 0$

Étape 13.2.5

Additionnez $- 4 x^{7} + 2 x^{4} a$ et $0$ .

$- 4 x^{7} + 2 x^{4} a$