Algèbre Exemples

$f (x) = (x^{2} - 4 x + 2) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} - 4 x + 2$ et $g (x) = 2 x^{3} - x^{2} + 4$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [2 x^{3} - x^{2} + 4] + (2 x^{3} - x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 2]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 2]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 2]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 2]$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 2]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 2]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [4]) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 2]$

Étape 4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [4]) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 2]$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x + 0) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 2]$

Étape 5.2

Additionnez $6 x^{2} - 2 x$ et $0$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 2]$

Étape 5.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 6

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 6.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 6.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 7.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) (2 x - 4 + 0)$

Étape 7.2

Additionnez $2 x - 4$ et $0$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) (2 x - 4)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Factorisez $1$ à partir de $(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) (2 x - 4)$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $1$ à partir de $(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x)$ .

$1 ((x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x)) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) (2 x - 4)$

Étape 8.1.2

Factorisez $1$ à partir de $(2 x^{3} - x^{2} + 4) (2 x - 4)$ .

$1 ((x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x)) + 1 ((2 x^{3} - x^{2} + 4) (2 x - 4))$

Étape 8.1.3

Factorisez $1$ à partir de $1 ((x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x)) + 1 ((2 x^{3} - x^{2} + 4) (2 x - 4))$ .

$1 ((x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) (2 x - 4))$

Étape 8.2

Multipliez $(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) (2 x - 4)$ par $1$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) (2 x - 4)$

Étape 8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$(6 x^{2} - 2 x) (x^{2} - 4 x + 2) + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Étape 8.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.4.1

Développez $(6 x^{2} - 2 x) (x^{2} - 4 x + 2)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$6 x^{2} x^{2} + 6 x^{2} (- 4 x) + 6 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 4 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Étape 8.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.4.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.4.2.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$6 (x^{2} x^{2}) + 6 x^{2} (- 4 x) + 6 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 4 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Étape 8.4.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x^{2 + 2} + 6 x^{2} (- 4 x) + 6 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 4 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Étape 8.4.2.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$6 x^{4} + 6 x^{2} (- 4 x) + 6 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 4 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Étape 8.4.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$6 x^{4} + 6 \cdot - 4 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 4 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Étape 8.4.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.4.2.3.1

Déplacez $x$ .

$6 x^{4} + 6 \cdot - 4 (x \cdot x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 4 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Étape 8.4.2.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 8.4.2.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 x^{4} + 6 \cdot - 4 (x^{1} x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 4 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Étape 8.4.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x^{4} + 6 \cdot - 4 x^{1 + 2} + 6 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 4 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Étape 8.4.2.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$6 x^{4} + 6 \cdot - 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 4 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Étape 8.4.2.4

Multipliez $6$ par $- 4$ .

$6 x^{4} - 24 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 4 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Étape 8.4.2.5

Multipliez $2$ par $6$ .

$6 x^{4} - 24 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 4 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Étape 8.4.2.6

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.4.2.6.1

Déplacez $x^{2}$ .

$6 x^{4} - 24 x^{3} + 12 x^{2} - 2 (x^{2} x) - 2 x (- 4 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Étape 8.4.2.6.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 8.4.2.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 x^{4} - 24 x^{3} + 12 x^{2} - 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x (- 4 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Étape 8.4.2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x^{4} - 24 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x^{2 + 1} - 2 x (- 4 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Étape 8.4.2.6.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$6 x^{4} - 24 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x^{3} - 2 x (- 4 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Étape 8.4.2.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$6 x^{4} - 24 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x^{3} - 2 \cdot - 4 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Étape 8.4.2.8

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.4.2.8.1

Déplacez $x$ .

$6 x^{4} - 24 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x^{3} - 2 \cdot - 4 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Étape 8.4.2.8.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$6 x^{4} - 24 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x^{3} - 2 \cdot - 4 x^{2} - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Étape 8.4.2.9

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$6 x^{4} - 24 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Étape 8.4.2.10

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$6 x^{4} - 24 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 4 x + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Étape 8.4.3

Soustrayez $2 x^{3}$ de $- 24 x^{3}$ .

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 12 x^{2} + 8 x^{2} - 4 x + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Étape 8.4.4

Additionnez $12 x^{2}$ et $8 x^{2}$ .

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Étape 8.4.5

Développez $(2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 2 x (2 x^{3}) + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 4 - 4 (2 x^{3}) - 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 4$

Étape 8.4.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.4.6.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 2 x \cdot x^{3} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 4 - 4 (2 x^{3}) - 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 4$

Étape 8.4.6.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.4.6.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 2 (x^{3} x) + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 4 - 4 (2 x^{3}) - 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 4$

Étape 8.4.6.2.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 8.4.6.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 2 (x^{3} x^{1}) + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 4 - 4 (2 x^{3}) - 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 4$

Étape 8.4.6.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 2 x^{3 + 1} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 4 - 4 (2 x^{3}) - 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 4$

Étape 8.4.6.2.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 2 x^{4} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 4 - 4 (2 x^{3}) - 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 4$

Étape 8.4.6.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 4 - 4 (2 x^{3}) - 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 4$

Étape 8.4.6.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} + 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 4 - 4 (2 x^{3}) - 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 4$

Étape 8.4.6.5

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.4.6.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 x \cdot 4 - 4 (2 x^{3}) - 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 4$

Étape 8.4.6.5.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 8.4.6.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 4 - 4 (2 x^{3}) - 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 4$

Étape 8.4.6.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} + 2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 4 - 4 (2 x^{3}) - 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 4$

Étape 8.4.6.5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} + 2 \cdot - 1 x^{3} + 2 x \cdot 4 - 4 (2 x^{3}) - 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 4$

Étape 8.4.6.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} - 2 x^{3} + 2 x \cdot 4 - 4 (2 x^{3}) - 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 4$

Étape 8.4.6.7

Multipliez $4$ par $2$ .

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} - 2 x^{3} + 8 x - 4 (2 x^{3}) - 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 4$

Étape 8.4.6.8

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} - 2 x^{3} + 8 x - 8 x^{3} - 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 4$

Étape 8.4.6.9

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} - 2 x^{3} + 8 x - 8 x^{3} + 4 x^{2} - 4 \cdot 4$

Étape 8.4.6.10

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} - 2 x^{3} + 8 x - 8 x^{3} + 4 x^{2} - 16$

Étape 8.4.7

Soustrayez $8 x^{3}$ de $- 2 x^{3}$ .

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} - 10 x^{3} + 8 x + 4 x^{2} - 16$

Étape 8.5

Additionnez $6 x^{4}$ et $4 x^{4}$ .

$10 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x - 10 x^{3} + 8 x + 4 x^{2} - 16$

Étape 8.6

Soustrayez $10 x^{3}$ de $- 26 x^{3}$ .

$10 x^{4} - 36 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 8 x + 4 x^{2} - 16$

Étape 8.7

Additionnez $20 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$10 x^{4} - 36 x^{3} + 24 x^{2} - 4 x + 8 x - 16$

Étape 8.8

Additionnez $- 4 x$ et $8 x$ .

$10 x^{4} - 36 x^{3} + 24 x^{2} + 4 x - 16$