Algèbre Exemples

${(3 - 2 x)}^{4}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(3)}^{4 - k} \cdot {(- 2 x)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(3)}^{4 - 0} \cdot {(- 2 x)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(3)}^{4 - 1} \cdot {(- 2 x)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(3)}^{4 - 2} \cdot {(- 2 x)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(3)}^{4 - 3} \cdot {(- 2 x)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(3)}^{4 - 4} \cdot {(- 2 x)}^{4}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(3)}^{4} \cdot {(- 2 x)}^{0} + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(- 2 x)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 x)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 x)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 x)}^{4}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(3)}^{4}$ par $1$ .

${(3)}^{4} \cdot {(- 2 x)}^{0} + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(- 2 x)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 x)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 x)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 x)}^{4}$

Étape 4.2

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$81 \cdot {(- 2 x)}^{0} + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(- 2 x)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 x)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 x)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 x)}^{4}$

Étape 4.3

Appliquez la règle de produit à $- 2 x$ .

$81 \cdot ({(- 2)}^{0} x^{0}) + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(- 2 x)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 x)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 x)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 x)}^{4}$

Étape 4.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$81 \cdot (1 x^{0}) + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(- 2 x)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 x)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 x)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 x)}^{4}$

Étape 4.5

Multipliez $x^{0}$ par $1$ .

$81 \cdot x^{0} + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(- 2 x)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 x)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 x)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 x)}^{4}$

Étape 4.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$81 \cdot 1 + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(- 2 x)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 x)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 x)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 x)}^{4}$

Étape 4.7

Multipliez $81$ par $1$ .

$81 + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(- 2 x)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 x)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 x)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 x)}^{4}$

Étape 4.8

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$81 + 4 \cdot 27 \cdot {(- 2 x)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 x)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 x)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 x)}^{4}$

Étape 4.9

Multipliez $4$ par $27$ .

$81 + 108 \cdot {(- 2 x)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 x)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 x)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 x)}^{4}$

Étape 4.10

Simplifiez

$81 + 108 \cdot (- 2 x) + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 x)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 x)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 x)}^{4}$

Étape 4.11

Multipliez $- 2$ par $108$ .

$81 - 216 x + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 x)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 x)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 x)}^{4}$

Étape 4.12

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$81 - 216 x + 6 \cdot 9 \cdot {(- 2 x)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 x)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 x)}^{4}$

Étape 4.13

Multipliez $6$ par $9$ .

$81 - 216 x + 54 \cdot {(- 2 x)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 x)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 x)}^{4}$

Étape 4.14

Appliquez la règle de produit à $- 2 x$ .

$81 - 216 x + 54 \cdot ({(- 2)}^{2} x^{2}) + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 x)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 x)}^{4}$

Étape 4.15

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$81 - 216 x + 54 \cdot (4 x^{2}) + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 x)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 x)}^{4}$

Étape 4.16

Multipliez $4$ par $54$ .

$81 - 216 x + 216 x^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 x)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 x)}^{4}$

Étape 4.17

Évaluez l’exposant.

$81 - 216 x + 216 x^{2} + 4 \cdot 3 \cdot {(- 2 x)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 x)}^{4}$

Étape 4.18

Multipliez $4$ par $3$ .

$81 - 216 x + 216 x^{2} + 12 \cdot {(- 2 x)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 x)}^{4}$

Étape 4.19

Appliquez la règle de produit à $- 2 x$ .

$81 - 216 x + 216 x^{2} + 12 \cdot ({(- 2)}^{3} x^{3}) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 x)}^{4}$

Étape 4.20

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$81 - 216 x + 216 x^{2} + 12 \cdot (- 8 x^{3}) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 x)}^{4}$

Étape 4.21

Multipliez $- 8$ par $12$ .

$81 - 216 x + 216 x^{2} - 96 x^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 x)}^{4}$

Étape 4.22

Multipliez ${(3)}^{0}$ par $1$ .

$81 - 216 x + 216 x^{2} - 96 x^{3} + {(3)}^{0} \cdot {(- 2 x)}^{4}$

Étape 4.23

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$81 - 216 x + 216 x^{2} - 96 x^{3} + 1 \cdot {(- 2 x)}^{4}$

Étape 4.24

Multipliez ${(- 2 x)}^{4}$ par $1$ .

$81 - 216 x + 216 x^{2} - 96 x^{3} + {(- 2 x)}^{4}$

Étape 4.25

Appliquez la règle de produit à $- 2 x$ .

$81 - 216 x + 216 x^{2} - 96 x^{3} + {(- 2)}^{4} x^{4}$

Étape 4.26

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$81 - 216 x + 216 x^{2} - 96 x^{3} + 16 x^{4}$