Algèbre Exemples

${(10 - 5 b)}^{3}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(10)}^{3 - k} \cdot {(- 5 b)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(10)}^{3 - 0} \cdot {(- 5 b)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(10)}^{3 - 1} \cdot {(- 5 b)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(10)}^{3 - 2} \cdot {(- 5 b)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(10)}^{3 - 3} \cdot {(- 5 b)}^{3}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(10)}^{3} \cdot {(- 5 b)}^{0} + 3 \cdot {(10)}^{2} \cdot {(- 5 b)}^{1} + 3 \cdot {(10)}^{1} \cdot {(- 5 b)}^{2} + 1 \cdot {(10)}^{0} \cdot {(- 5 b)}^{3}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(10)}^{3}$ par $1$ .

${(10)}^{3} \cdot {(- 5 b)}^{0} + 3 \cdot {(10)}^{2} \cdot {(- 5 b)}^{1} + 3 \cdot {(10)}^{1} \cdot {(- 5 b)}^{2} + 1 \cdot {(10)}^{0} \cdot {(- 5 b)}^{3}$

Étape 4.2

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$1000 \cdot {(- 5 b)}^{0} + 3 \cdot {(10)}^{2} \cdot {(- 5 b)}^{1} + 3 \cdot {(10)}^{1} \cdot {(- 5 b)}^{2} + 1 \cdot {(10)}^{0} \cdot {(- 5 b)}^{3}$

Étape 4.3

Appliquez la règle de produit à $- 5 b$ .

$1000 \cdot ({(- 5)}^{0} b^{0}) + 3 \cdot {(10)}^{2} \cdot {(- 5 b)}^{1} + 3 \cdot {(10)}^{1} \cdot {(- 5 b)}^{2} + 1 \cdot {(10)}^{0} \cdot {(- 5 b)}^{3}$

Étape 4.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1000 \cdot (1 b^{0}) + 3 \cdot {(10)}^{2} \cdot {(- 5 b)}^{1} + 3 \cdot {(10)}^{1} \cdot {(- 5 b)}^{2} + 1 \cdot {(10)}^{0} \cdot {(- 5 b)}^{3}$

Étape 4.5

Multipliez $b^{0}$ par $1$ .

$1000 \cdot b^{0} + 3 \cdot {(10)}^{2} \cdot {(- 5 b)}^{1} + 3 \cdot {(10)}^{1} \cdot {(- 5 b)}^{2} + 1 \cdot {(10)}^{0} \cdot {(- 5 b)}^{3}$

Étape 4.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1000 \cdot 1 + 3 \cdot {(10)}^{2} \cdot {(- 5 b)}^{1} + 3 \cdot {(10)}^{1} \cdot {(- 5 b)}^{2} + 1 \cdot {(10)}^{0} \cdot {(- 5 b)}^{3}$

Étape 4.7

Multipliez $1000$ par $1$ .

$1000 + 3 \cdot {(10)}^{2} \cdot {(- 5 b)}^{1} + 3 \cdot {(10)}^{1} \cdot {(- 5 b)}^{2} + 1 \cdot {(10)}^{0} \cdot {(- 5 b)}^{3}$

Étape 4.8

Simplifiez

$1000 + 3 \cdot {(10)}^{2} \cdot (- 5 b) + 3 \cdot {(10)}^{1} \cdot {(- 5 b)}^{2} + 1 \cdot {(10)}^{0} \cdot {(- 5 b)}^{3}$

Étape 4.9

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$1000 - 15 \cdot {(10)}^{2} b + 3 \cdot {(10)}^{1} \cdot {(- 5 b)}^{2} + 1 \cdot {(10)}^{0} \cdot {(- 5 b)}^{3}$

Étape 4.10

Move the decimal point in $- 15$ to the left by $1$ place and increase the power of ${(10)}^{2}$ by $1$ .

$1000 - 1.5 \cdot 10^{3} b + 3 \cdot {(10)}^{1} \cdot {(- 5 b)}^{2} + 1 \cdot {(10)}^{0} \cdot {(- 5 b)}^{3}$

Étape 4.11

Appliquez la règle de produit à $- 5 b$ .

$1000 - 1.5 \cdot 10^{3} b + 3 \cdot {(10)}^{1} \cdot ({(- 5)}^{2} b^{2}) + 1 \cdot {(10)}^{0} \cdot {(- 5 b)}^{3}$

Étape 4.12

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$1000 - 1.5 \cdot 10^{3} b + 3 \cdot {(10)}^{1} \cdot (25 b^{2}) + 1 \cdot {(10)}^{0} \cdot {(- 5 b)}^{3}$

Étape 4.13

Multipliez $25$ par $3$ .

$1000 - 1.5 \cdot 10^{3} b + 75 \cdot {(10)}^{1} b^{2} + 1 \cdot {(10)}^{0} \cdot {(- 5 b)}^{3}$

Étape 4.14

Move the decimal point in $75$ to the left by $1$ place and increase the power of ${(10)}^{1}$ by $1$ .

$1000 - 1.5 \cdot 10^{3} b + 7.5 \cdot 10^{2} b^{2} + 1 \cdot {(10)}^{0} \cdot {(- 5 b)}^{3}$

Étape 4.15

Multipliez ${(10)}^{0}$ par $1$ .

$1000 - 1.5 \cdot 10^{3} b + 7.5 \cdot 10^{2} b^{2} + {(10)}^{0} \cdot {(- 5 b)}^{3}$

Étape 4.16

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1000 - 1.5 \cdot 10^{3} b + 7.5 \cdot 10^{2} b^{2} + 1 \cdot {(- 5 b)}^{3}$

Étape 4.17

Multipliez ${(- 5 b)}^{3}$ par $1$ .

$1000 - 1.5 \cdot 10^{3} b + 7.5 \cdot 10^{2} b^{2} + {(- 5 b)}^{3}$

Étape 4.18

Appliquez la règle de produit à $- 5 b$ .

$1000 - 1.5 \cdot 10^{3} b + 7.5 \cdot 10^{2} b^{2} + {(- 5)}^{3} b^{3}$

Étape 4.19

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$1000 - 1.5 \cdot 10^{3} b + 7.5 \cdot 10^{2} b^{2} - 125 b^{3}$