Algèbre Exemples

${(\sqrt{x} + \sqrt{6})}^{2}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(\sqrt{x})}^{2 - k} \cdot {(\sqrt{6})}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} \cdot {(\sqrt{x})}^{2 - 0} \cdot {(\sqrt{6})}^{0} + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} \cdot {(\sqrt{x})}^{2 - 1} \cdot {(\sqrt{6})}^{1} + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} \cdot {(\sqrt{x})}^{2 - 2} \cdot {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(\sqrt{x})}^{2} \cdot {(\sqrt{6})}^{0} + 2 \cdot {(\sqrt{x})}^{1} \cdot {(\sqrt{6})}^{1} + 1 \cdot {(\sqrt{x})}^{0} \cdot {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(\sqrt{x})}^{2}$ par $1$ .

${(\sqrt{x})}^{2} \cdot {(\sqrt{6})}^{0} + 2 \cdot {(\sqrt{x})}^{1} \cdot {(\sqrt{6})}^{1} + 1 \cdot {(\sqrt{x})}^{0} \cdot {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 4.2

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot {(\sqrt{6})}^{0} + 2 \cdot {(\sqrt{x})}^{1} \cdot {(\sqrt{6})}^{1} + 1 \cdot {(\sqrt{x})}^{0} \cdot {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot {(\sqrt{6})}^{0} + 2 \cdot {(\sqrt{x})}^{1} \cdot {(\sqrt{6})}^{1} + 1 \cdot {(\sqrt{x})}^{0} \cdot {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 4.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x^{\frac{2}{2}} \cdot {(\sqrt{6})}^{0} + 2 \cdot {(\sqrt{x})}^{1} \cdot {(\sqrt{6})}^{1} + 1 \cdot {(\sqrt{x})}^{0} \cdot {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{2}{2}} \cdot {(\sqrt{6})}^{0} + 2 \cdot {(\sqrt{x})}^{1} \cdot {(\sqrt{6})}^{1} + 1 \cdot {(\sqrt{x})}^{0} \cdot {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} \cdot {(\sqrt{6})}^{0} + 2 \cdot {(\sqrt{x})}^{1} \cdot {(\sqrt{6})}^{1} + 1 \cdot {(\sqrt{x})}^{0} \cdot {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 4.2.5

Simplifiez

$x \cdot {(\sqrt{6})}^{0} + 2 \cdot {(\sqrt{x})}^{1} \cdot {(\sqrt{6})}^{1} + 1 \cdot {(\sqrt{x})}^{0} \cdot {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 4.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x \cdot 1 + 2 \cdot {(\sqrt{x})}^{1} \cdot {(\sqrt{6})}^{1} + 1 \cdot {(\sqrt{x})}^{0} \cdot {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 4.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$x + 2 \cdot {(\sqrt{x})}^{1} \cdot {(\sqrt{6})}^{1} + 1 \cdot {(\sqrt{x})}^{0} \cdot {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 4.5

Simplifiez

$x + 2 \cdot \sqrt{x} \cdot {(\sqrt{6})}^{1} + 1 \cdot {(\sqrt{x})}^{0} \cdot {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 4.6

Simplifiez

$x + 2 \sqrt{x} \cdot \sqrt{6} + 1 \cdot {(\sqrt{x})}^{0} \cdot {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 4.7

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x + 2 \sqrt{6 x} + 1 \cdot {(\sqrt{x})}^{0} \cdot {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 4.8

Multipliez ${(\sqrt{x})}^{0}$ par $1$ .

$x + 2 \sqrt{6 x} + {(\sqrt{x})}^{0} \cdot {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 4.9

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x + 2 \sqrt{6 x} + 1 \cdot {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 4.10

Multipliez ${(\sqrt{6})}^{2}$ par $1$ .

$x + 2 \sqrt{6 x} + {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 4.11

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 4.11.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x + 2 \sqrt{6 x} + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 4.11.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 2 \sqrt{6 x} + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 4.11.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x + 2 \sqrt{6 x} + 6^{\frac{2}{2}}$

Étape 4.11.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.11.4.1

Annulez le facteur commun.

$x + 2 \sqrt{6 x} + 6^{\frac{2}{2}}$

Étape 4.11.4.2

Réécrivez l’expression.

$x + 2 \sqrt{6 x} + 6^{1}$

Étape 4.11.5

Évaluez l’exposant.

$x + 2 \sqrt{6 x} + 6$