Algèbre Exemples

${(x - y^{2})}^{3}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(x)}^{3 - k} \cdot {(- y^{2})}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} {(x)}^{3 - 0} \cdot {(- y^{2})}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} {(x)}^{3 - 1} \cdot {(- y^{2})}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} {(x)}^{3 - 2} \cdot {(- y^{2})}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} {(x)}^{3 - 3} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(- y^{2})}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(x)}^{3}$ par $1$ .

${(x)}^{3} \cdot {(- y^{2})}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $- y^{2}$ .

$x^{3} \cdot ({(- 1)}^{0} {(y^{2})}^{0}) + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Étape 4.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${(- 1)}^{0} x^{3} {(y^{2})}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Étape 4.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 x^{3} {(y^{2})}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Étape 4.5

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} {(y^{2})}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Étape 4.6

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{0}$ .

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Étape 4.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{3} y^{2 \cdot 0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Étape 4.6.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$x^{3} y^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Étape 4.7

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Étape 4.8

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Étape 4.9

Simplifiez

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot (- y^{2}) + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Étape 4.10

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{3} + 3 \cdot - 1 x^{2} y^{2} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Étape 4.11

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Étape 4.12

Simplifiez

$x^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 3 \cdot x \cdot {(- y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Étape 4.13

Appliquez la règle de produit à $- y^{2}$ .

$x^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 3 x \cdot ({(- 1)}^{2} {(y^{2})}^{2}) + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Étape 4.14

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 3 \cdot {(- 1)}^{2} x {(y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Étape 4.15

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 3 \cdot 1 x {(y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Étape 4.16

Multipliez $3$ par $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 3 x {(y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Étape 4.17

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.17.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{2 \cdot 2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Étape 4.17.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{4} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Étape 4.18

Multipliez ${(x)}^{0}$ par $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{4} + {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Étape 4.19

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{4} + 1 \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Étape 4.20

Multipliez ${(- y^{2})}^{3}$ par $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{4} + {(- y^{2})}^{3}$

Étape 4.21

Appliquez la règle de produit à $- y^{2}$ .

$x^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{4} + {(- 1)}^{3} {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.22

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$x^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{4} - {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.23

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{3}$ .

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Étape 4.23.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{4} - y^{2 \cdot 3}$

Étape 4.23.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{4} - y^{6}$