Algèbre Exemples

${(a x - b y)}^{3}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(a x)}^{3 - k} \cdot {(- b y)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(a x)}^{3 - 0} \cdot {(- b y)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(a x)}^{3 - 1} \cdot {(- b y)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(a x)}^{3 - 2} \cdot {(- b y)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(a x)}^{3 - 3} \cdot {(- b y)}^{3}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(a x)}^{3} \cdot {(- b y)}^{0} + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(- b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(- b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(a x)}^{3}$ par $1$ .

${(a x)}^{3} \cdot {(- b y)}^{0} + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(- b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(- b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $a x$ .

$a^{3} x^{3} \cdot {(- b y)}^{0} + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(- b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(- b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Étape 4.3

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.3.1

Appliquez la règle de produit à $- b y$ .

$a^{3} x^{3} \cdot ({(- b)}^{0} y^{0}) + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(- b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(- b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Étape 4.3.2

Appliquez la règle de produit à $- b$ .

$a^{3} x^{3} \cdot ({(- 1)}^{0} b^{0} y^{0}) + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(- b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(- b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Étape 4.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${(- 1)}^{0} a^{3} x^{3} b^{0} y^{0} + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(- b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(- b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Étape 4.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 a^{3} x^{3} b^{0} y^{0} + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(- b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(- b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Étape 4.6

Multipliez $a^{3}$ par $1$ .

$a^{3} x^{3} b^{0} y^{0} + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(- b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(- b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Étape 4.7

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a^{3} x^{3} \cdot 1 y^{0} + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(- b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(- b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Étape 4.8

Multipliez $a^{3}$ par $1$ .

$a^{3} x^{3} y^{0} + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(- b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(- b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Étape 4.9

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a^{3} x^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(- b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(- b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Étape 4.10

Multipliez $a^{3}$ par $1$ .

$a^{3} x^{3} + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(- b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(- b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Étape 4.11

Appliquez la règle de produit à $a x$ .

$a^{3} x^{3} + 3 \cdot (a^{2} x^{2}) \cdot {(- b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(- b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Étape 4.12

Simplifiez

$a^{3} x^{3} + 3 a^{2} x^{2} \cdot (- b y) + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(- b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Étape 4.13

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$a^{3} x^{3} - 3 a^{2} x^{2} (b y) + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(- b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Étape 4.14

Simplifiez

$a^{3} x^{3} - 3 a^{2} x^{2} b y + 3 \cdot (a x) \cdot {(- b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Étape 4.15

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.15.1

Appliquez la règle de produit à $- b y$ .

$a^{3} x^{3} - 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x \cdot ({(- b)}^{2} y^{2}) + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Étape 4.15.2

Appliquez la règle de produit à $- b$ .

$a^{3} x^{3} - 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x \cdot ({(- 1)}^{2} b^{2} y^{2}) + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Étape 4.16

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$a^{3} x^{3} - 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x \cdot (1 b^{2} y^{2}) + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Étape 4.17

Multipliez $b^{2}$ par $1$ .

$a^{3} x^{3} - 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x \cdot (b^{2} y^{2}) + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Étape 4.18

Multipliez ${(a x)}^{0}$ par $1$ .

$a^{3} x^{3} - 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x b^{2} y^{2} + {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Étape 4.19

Appliquez la règle de produit à $a x$ .

$a^{3} x^{3} - 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x b^{2} y^{2} + a^{0} x^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Étape 4.20

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a^{3} x^{3} - 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x b^{2} y^{2} + 1 x^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Étape 4.21

Multipliez $x^{0}$ par $1$ .

$a^{3} x^{3} - 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x b^{2} y^{2} + x^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Étape 4.22

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a^{3} x^{3} - 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x b^{2} y^{2} + 1 \cdot {(- b y)}^{3}$

Étape 4.23

Multipliez ${(- b y)}^{3}$ par $1$ .

$a^{3} x^{3} - 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x b^{2} y^{2} + {(- b y)}^{3}$

Étape 4.24

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.24.1

Appliquez la règle de produit à $- b y$ .

$a^{3} x^{3} - 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x b^{2} y^{2} + {(- b)}^{3} y^{3}$

Étape 4.24.2

Appliquez la règle de produit à $- b$ .

$a^{3} x^{3} - 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x b^{2} y^{2} + {(- 1)}^{3} b^{3} y^{3}$

Étape 4.25

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$a^{3} x^{3} - 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x b^{2} y^{2} - b^{3} y^{3}$