Algèbre Exemples

$81 x^{2} - y^{2} - 810 x - 10 y + 2009 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

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Étape 1.1

Soustrayez $2009$ des deux côtés de l’équation.

$81 x^{2} - y^{2} - 810 x - 10 y = - 2009$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $81 x^{2} - 810 x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 81$

$b = - 810$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 810}{2 \cdot 81}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 810$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 810$ .

$d = \frac{2 \cdot - 405}{2 \cdot 81}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 81$ .

$d = \frac{2 \cdot - 405}{2 (81)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 405}{2 \cdot 81}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 405}{81}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 405$ et $81$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $81$ à partir de $- 405$ .

$d = \frac{81 \cdot - 5}{81}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $81$ à partir de $81$ .

$d = \frac{81 \cdot - 5}{81 (1)}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{81 \cdot - 5}{81 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 5}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.4

Divisez $- 5$ par $1$ .

$d = - 5$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 810)}^{2}}{4 \cdot 81}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 810$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{656100}{4 \cdot 81}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $81$ .

$e = 0 - \frac{656100}{324}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $656100$ par $324$ .

$e = 0 - 1 \cdot 2025$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $2025$ .

$e = 0 - 2025$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $2025$ de $0$ .

$e = - 2025$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $81 {(x - 5)}^{2} - 2025$ .

$81 {(x - 5)}^{2} - 2025$

Étape 1.3

Remplacez $81 x^{2} - 810 x$ par $81 {(x - 5)}^{2} - 2025$ dans l’équation $81 x^{2} - y^{2} - 810 x - 10 y = - 2009$ .

$81 {(x - 5)}^{2} - 2025 - y^{2} - 10 y = - 2009$

Étape 1.4

Déplacez $- 2025$ du côté droit de l’équation en ajoutant $2025$ des deux côtés.

$81 {(x - 5)}^{2} - y^{2} - 10 y = - 2009 + 2025$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $- y^{2} - 10 y$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = - 10$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 10}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 5$

Étape 1.5.3.2.2

Réécrivez $- 1 \cdot - 5$ comme $- - 5$ .

$d = - - 5$

Étape 1.5.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$d = 5$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = 0 - \frac{100}{- 4}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $100$ par $- 4$ .

$e = 0 - - 25$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 25$ .

$e = 0 + 25$

Étape 1.5.4.2.2

Additionnez $0$ et $25$ .

$e = 25$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(y + 5)}^{2} + 25$ .

$- {(y + 5)}^{2} + 25$

Étape 1.6

Remplacez $- y^{2} - 10 y$ par $- {(y + 5)}^{2} + 25$ dans l’équation $81 x^{2} - y^{2} - 810 x - 10 y = - 2009$ .

$81 {(x - 5)}^{2} - {(y + 5)}^{2} + 25 = - 2009 + 2025$

Étape 1.7

Déplacez $25$ du côté droit de l’équation en ajoutant $25$ des deux côtés.

$81 {(x - 5)}^{2} - {(y + 5)}^{2} = - 2009 + 2025 - 25$

Étape 1.8

Simplifiez $- 2009 + 2025 - 25$ .

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Étape 1.8.1

Additionnez $- 2009$ et $2025$ .

$81 {(x - 5)}^{2} - {(y + 5)}^{2} = 16 - 25$

Étape 1.8.2

Soustrayez $25$ de $16$ .

$81 {(x - 5)}^{2} - {(y + 5)}^{2} = - 9$

Étape 1.9

Inversez le signe de chaque terme de l’équation afin que le terme du côté droit soit positif.

$- 81 {(x - 5)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 9$

Étape 1.10

Divisez chaque terme par $9$ pour rendre le côté droit égal à un.

$- \frac{81 {(x - 5)}^{2}}{9} + \frac{{(y + 5)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Étape 1.11

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{9} - \frac{{(x - 5)}^{2}}{\frac{1}{9}} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 3$

$b = \frac{1}{3}$

$k = - 5$

$h = 5$

Étape 4

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ car cette hyperbole ouvre vers le haut et vers le bas.

$y = \pm 9 \cdot (x - (5)) - 5$

Étape 5

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 5.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 9 \cdot (x - (5)) - 5$

Étape 5.2

Simplifiez $9 \cdot (x - (5)) - 5$ .

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$y = 9 \cdot (x - 5) - 5$

Étape 5.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = 9 x + 9 \cdot - 5 - 5$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $9$ par $- 5$ .

$y = 9 x - 45 - 5$

Étape 5.2.2

Soustrayez $5$ de $- 45$ .

$y = 9 x - 50$

Étape 6

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

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Étape 6.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - 9 \cdot (x - (5)) - 5$

Étape 6.2

Simplifiez $- 9 \cdot (x - (5)) - 5$ .

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$y = - 9 \cdot (x - 5) - 5$

Étape 6.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 9 x - 9 \cdot - 5 - 5$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 9$ par $- 5$ .

$y = - 9 x + 45 - 5$

Étape 6.2.2

Soustrayez $5$ de $45$ .

$y = - 9 x + 40$

Étape 7

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = 9 x - 50, y = - 9 x + 40$

Étape 8

Les asymptotes sont $y = 9 x - 50$ et $y = - 9 x + 40$ .

Asymptotes : $y = 9 x - 50, y = - 9 x + 40$

Étape 9