Algèbre Exemples

$y = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{2} - 10}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{\sqrt{x}}{2 x^{2} - 10}$ est indéfinie.

$x < 0, x = \sqrt{5}$

Étape 2

Comme $\frac{\sqrt{x}}{2 x^{2} - 10}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $\sqrt{5}$ depuis la gauche et $\frac{\sqrt{x}}{2 x^{2} - 10}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $\sqrt{5}$ depuis la droite, $x = \sqrt{5}$ est une asymptote verticale.

$x = \sqrt{5}$

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2 x^{2} - 10}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $\sqrt{x^{4}} = x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 10}{x^{2}}}$

Étape 3.2

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}}}{2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{1}}{x^{4}}}}{2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Étape 3.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{4}}}}{2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Étape 3.2.2.3

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}}}}{2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Étape 3.2.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}}}}{2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Étape 3.2.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{x^{3}}}}{2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Étape 3.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{3}}}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Étape 3.2.4

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Étape 3.3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Étape 3.4

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}$

Étape 3.4.2

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0}}{2 - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}$

Étape 3.4.3

Placez le terme $10$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{0}}{2 - 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 3.5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{0}}{2 - 10 \cdot 0}$

Étape 3.6

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{\sqrt{0^{2}}}{2 - 10 \cdot 0}$

Étape 3.6.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{0}{2 - 10 \cdot 0}$

Étape 3.6.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.1

Multipliez $- 10$ par $0$ .

$\frac{0}{2 + 0}$

Étape 3.6.2.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{0}{2}$

Étape 3.6.3

Divisez $0$ par $2$ .

$0$

Étape 4

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = 0$

Étape 5

Utilisez la division polynomiale pour déterminer les asymptotes obliques. Comme cette expression contient un radical, la division polynomiale ne peut pas être réalisée.

Asymptotes obliques introuvables

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = \sqrt{5}$

Asymptotes horizontales : $y = 0$

Asymptotes obliques introuvables

Étape 7