Algèbre Exemples

$f (x) = - x^{5} - 9 x^{4} + 81 x^{3} + 729 x^{2}$

Étape 1

Définissez $- x^{5} - 9 x^{4} + 81 x^{3} + 729 x^{2}$ égal à $0$ .

$- x^{5} - 9 x^{4} + 81 x^{3} + 729 x^{2} = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{5} - 9 x^{4} + 81 x^{3} + 729 x^{2}$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{5}$ .

$x^{2} (- x^{3}) - 9 x^{4} + 81 x^{3} + 729 x^{2} = 0$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 9 x^{4}$ .

$x^{2} (- x^{3}) + x^{2} (- 9 x^{2}) + 81 x^{3} + 729 x^{2} = 0$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $81 x^{3}$ .

$x^{2} (- x^{3}) + x^{2} (- 9 x^{2}) + x^{2} (81 x) + 729 x^{2} = 0$

Étape 2.1.1.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $729 x^{2}$ .

$x^{2} (- x^{3}) + x^{2} (- 9 x^{2}) + x^{2} (81 x) + x^{2} \cdot 729 = 0$

Étape 2.1.1.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (- x^{3}) + x^{2} (- 9 x^{2})$ .

$x^{2} (- x^{3} - 9 x^{2}) + x^{2} (81 x) + x^{2} \cdot 729 = 0$

Étape 2.1.1.6

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (- x^{3} - 9 x^{2}) + x^{2} (81 x)$ .

$x^{2} (- x^{3} - 9 x^{2} + 81 x) + x^{2} \cdot 729 = 0$

Étape 2.1.1.7

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (- x^{3} - 9 x^{2} + 81 x) + x^{2} \cdot 729$ .

$x^{2} (- x^{3} - 9 x^{2} + 81 x + 729) = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x^{2} ((- x^{3} - 9 x^{2}) + 81 x + 729) = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{2} (x^{2} (- x - 9) - 81 (- x - 9)) = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 9$ .

$x^{2} ((- x - 9) (x^{2} - 81)) = 0$

Étape 2.1.4

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$x^{2} ((- x - 9) (x^{2} - 9^{2})) = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez.

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Étape 2.1.5.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 9$ .

$x^{2} ((- x - 9) ((x + 9) (x - 9))) = 0$

Étape 2.1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{2} ((- x - 9) (x + 9) (x - 9)) = 0$

Étape 2.1.6

Factorisez.

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Étape 2.1.6.1

Associez les exposants.

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Étape 2.1.6.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$x^{2} ((- (x) - 9) (x + 9) (x - 9)) = 0$

Étape 2.1.6.1.2

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$x^{2} ((- (x) - 1 \cdot 9) (x + 9) (x - 9)) = 0$

Étape 2.1.6.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (9)$ .

$x^{2} (- (x + 9) (x + 9) (x - 9)) = 0$

Étape 2.1.6.1.4

Réécrivez $- (x + 9)$ comme $- 1 (x + 9)$ .

$x^{2} (- 1 (x + 9) (x + 9) (x - 9)) = 0$

Étape 2.1.6.1.5

Élevez $x + 9$ à la puissance $1$ .

$x^{2} (- 1 ((x + 9) (x + 9)) (x - 9)) = 0$

Étape 2.1.6.1.6

Élevez $x + 9$ à la puissance $1$ .

$x^{2} (- 1 ((x + 9) (x + 9)) (x - 9)) = 0$

Étape 2.1.6.1.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} (- 1 {(x + 9)}^{1 + 1} (x - 9)) = 0$

Étape 2.1.6.1.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} (- 1 {(x + 9)}^{2} (x - 9)) = 0$

Étape 2.1.6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{2} \cdot (- 1 {(x + 9)}^{2} (x - 9)) = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez le signe négatif.

$- (x^{2} {(x + 9)}^{2} (x - 9)) = 0$

Étape 2.1.8

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- x^{2} {(x + 9)}^{2} (x - 9) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x + 9)}^{2} = 0$

$x - 9 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.4

Définissez ${(x + 9)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez ${(x + 9)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 9)}^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez ${(x + 9)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Définissez le $x + 9$ égal à $0$ .

$x + 9 = 0$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 9$

Étape 2.5

Définissez $x - 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 9$ égal à $0$ .

$x - 9 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 9$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- x^{2} {(x + 9)}^{2} (x - 9) = 0$ vraie. La multiplicité d’une racine est le nombre de fois que la racine apparaît.

$x = 0$ (Multiplicité de $2$ )

$x = - 9$ (Multiplicité de $2$ )

$x = 9$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 0$ (Multiplicité de $2$ )

$x = - 9$ (Multiplicité de $2$ )

$x = 9$ (Multiplicité de $1$ )

Étape 3