Algèbre Exemples

$- 8 + (- 4) + (- 2) + (- 1) + (- \frac{1}{2})$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$- 8, - 4, - 2, - 1, - \frac{1}{2}$

Étape 2

Supprimez les parenthèses.

$- 8, - 4, - 2, - 1, - \frac{1}{2}$

Étape 3

Supprimez les parenthèses.

$- 8, - 4, - 2, - 1, - \frac{1}{2}$

Étape 4

Supprimez les parenthèses.

$- 8, - 4, - 2, - 1, - \frac{1}{2}$

Étape 5

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par $\frac{1}{2}$ produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique : $r = \frac{1}{2}$

Étape 6

C’est la forme d’une séquence géométrique.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Étape 7

Remplacez les valeurs de $a_{1} = - 8$ et $r = \frac{1}{2}$ .

$a_{n} = - 8 {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

Étape 8

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$a_{n} = - 8 \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Étape 9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$a_{n} = - 8 \frac{1}{2^{n - 1}}$

Étape 10

Associez $- 8$ et $\frac{1}{2^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{- 8}{2^{n - 1}}$

Étape 11

Placez le signe moins devant la fraction.

$a_{n} = - \frac{8}{2^{n - 1}}$

Étape 12

Cette formule permet de déterminer la somme des $n$ premiers termes de la séquence géométrique. Pour l’évaluer, déterminez les valeurs de $r$ et $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Étape 13

Remplacez les variables par les valeurs connues pour déterminer $S_{5}$ .

$S_{5} = - 8 \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{5} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Étape 14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$S_{5} = - 8 \cdot \frac{\frac{1^{5}}{2^{5}} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Étape 14.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$S_{5} = - 8 \cdot \frac{\frac{1}{2^{5}} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Étape 14.3

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$S_{5} = - 8 \cdot \frac{\frac{1}{32} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Étape 14.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{32}{32}$ .

$S_{5} = - 8 \cdot \frac{\frac{1}{32} - 1 \cdot \frac{32}{32}}{\frac{1}{2} - 1}$

Étape 14.5

Associez $- 1$ et $\frac{32}{32}$ .

$S_{5} = - 8 \cdot \frac{\frac{1}{32} + \frac{- 1 \cdot 32}{32}}{\frac{1}{2} - 1}$

Étape 14.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$S_{5} = - 8 \cdot \frac{\frac{1 - 1 \cdot 32}{32}}{\frac{1}{2} - 1}$

Étape 14.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.7.1

Multipliez $- 1$ par $32$ .

$S_{5} = - 8 \cdot \frac{\frac{1 - 32}{32}}{\frac{1}{2} - 1}$

Étape 14.7.2

Soustrayez $32$ de $1$ .

$S_{5} = - 8 \cdot \frac{\frac{- 31}{32}}{\frac{1}{2} - 1}$

Étape 14.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$S_{5} = - 8 \cdot \frac{- \frac{31}{32}}{\frac{1}{2} - 1}$

Étape 15

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$S_{5} = - 8 \cdot \frac{- \frac{31}{32}}{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 15.2

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$S_{5} = - 8 \cdot \frac{- \frac{31}{32}}{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 15.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$S_{5} = - 8 \cdot \frac{- \frac{31}{32}}{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 15.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$S_{5} = - 8 \cdot \frac{- \frac{31}{32}}{\frac{1 - 2}{2}}$

Étape 15.4.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$S_{5} = - 8 \cdot \frac{- \frac{31}{32}}{\frac{- 1}{2}}$

Étape 15.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$S_{5} = - 8 \cdot \frac{- \frac{31}{32}}{- \frac{1}{2}}$

Étape 16

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$S_{5} = - 8 \cdot \frac{\frac{31}{32}}{\frac{1}{2}}$

Étape 17

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$S_{5} = - 8 \cdot (\frac{31}{32} \cdot 2)$

Étape 18

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.1

Factorisez $2$ à partir de $32$ .

$S_{5} = - 8 \cdot (\frac{31}{2 (16)} \cdot 2)$

Étape 18.2

Annulez le facteur commun.

$S_{5} = - 8 \cdot (\frac{31}{2 \cdot 16} \cdot 2)$

Étape 18.3

Réécrivez l’expression.

$S_{5} = - 8 \cdot \frac{31}{16}$

Étape 19

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 19.1

Factorisez $8$ à partir de $- 8$ .

$S_{5} = 8 (- 1) \cdot \frac{31}{16}$

Étape 19.2

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$S_{5} = 8 \cdot - 1 \cdot \frac{31}{8 \cdot 2}$

Étape 19.3

Annulez le facteur commun.

$S_{5} = 8 \cdot - 1 \cdot \frac{31}{8 \cdot 2}$

Étape 19.4

Réécrivez l’expression.

$S_{5} = - 1 \cdot \frac{31}{2}$

Étape 20

Réécrivez $- 1 (\frac{31}{2})$ comme $- (\frac{31}{2})$ .

$S_{5} = - \frac{31}{2}$