Algèbre Exemples

$x^{3} = - i$

Étape 1

Remplacez $x^{3}$ par $u$ .

$u^{3} = - i$

Étape 2

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 3

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles de $a = 0$ et $b = - 1$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2}}$

Étape 5

Déterminez $| z |$ .

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Étape 5.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Étape 5.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$| z | = 1$

Étape 6

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- 1}{0})$

Étape 7

Comme l’argument est indéfini et $b$ est négatif, l’angle du point sur le plan complexe est $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Étape 8

Remplacez les valeurs de $θ = \frac{3 π}{2}$ et $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 9

Remplacez le côté droit de l’équation par la forme trigonométrique.

$u^{3} = \cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 10

Utilisez le théorème de De Moivre pour déterminer une équation pour $u$ .

$r^{3} (c o s (3 θ) + i s i n (3 θ)) = - i = \cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 11

Associez le module de la forme trigonométrique à $r^{3}$ pour déterminer la valeur de $r$ .

$r^{3} = 1$

Étape 12

Résolvez l’équation pour $r$ .

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Étape 12.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$r^{3} - 1 = 0$

Étape 12.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 12.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$r^{3} - 1^{3} = 0$

Étape 12.2.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = r$ et $b = 1$ .

$(r - 1) (r^{2} + r \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 12.2.3

Simplifiez

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Étape 12.2.3.1

Multipliez $r$ par $1$ .

$(r - 1) (r^{2} + r + 1^{2}) = 0$

Étape 12.2.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(r - 1) (r^{2} + r + 1) = 0$

Étape 12.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$r - 1 = 0$

$r^{2} + r + 1 = 0$

Étape 12.4

Définissez $r - 1$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

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Étape 12.4.1

Définissez $r - 1$ égal à $0$ .

$r - 1 = 0$

Étape 12.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$r = 1$

Étape 12.5

Définissez $r^{2} + r + 1$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

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Étape 12.5.1

Définissez $r^{2} + r + 1$ égal à $0$ .

$r^{2} + r + 1 = 0$

Étape 12.5.2

Résolvez $r^{2} + r + 1 = 0$ pour $r$ .

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Étape 12.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 12.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $r$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.5.2.3

Simplifiez

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Étape 12.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.5.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 12.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.5.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.5.2.3.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.5.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.5.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 12.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 12.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.5.2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 12.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.5.2.4.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.5.2.4.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.5.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.5.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 12.5.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$r = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 12.5.2.4.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 12.5.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Étape 12.5.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$r = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Étape 12.5.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$r = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 12.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 12.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.5.2.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 12.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.5.2.5.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.5.2.5.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.5.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.5.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 12.5.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$r = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 12.5.2.5.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 12.5.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Étape 12.5.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$r = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Étape 12.5.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$r = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 12.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$r = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 12.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(r - 1) (r^{2} + r + 1) = 0$ vraie.

$r = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 13

Déterminez la valeur approximative de $r$ .

$r = 1$

Étape 14

Déterminer les valeurs possibles de $θ$ .

$c o s (3 θ) = c o s (2 π n)$ et $s i n (3 θ) = s i n (2 π n)$

Étape 15

Déterminer toutes les valeurs possibles de $θ$ mène à l’équation $3 θ = 2 π n$ .

$3 θ = 2 π n$

Étape 16

Déterminez la valeur de $θ$ pour $r = 0$ .

$3 θ = 2 π (0)$

Étape 17

Résolvez l’équation pour $θ$ .

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Étape 17.1

Multipliez $2 π \cdot 0$ .

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Étape 17.1.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$3 θ = 0 π$

Étape 17.1.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$3 θ = 0$

Étape 17.2

Divisez chaque terme dans $3 θ = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 17.2.1

Divisez chaque terme dans $3 θ = 0$ par $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 17.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 17.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 17.2.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{0}{3}$

Étape 17.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 17.2.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$θ = 0$

Étape 18

Utilisez les valeurs de $θ$ et $r$ pour déterminer une solution à l’équation $u^{3} = - i$ .

$u_{0} = 1 (\cos (0) + i \sin (0))$

Étape 19

Convertissez la solution en forme rectangulaire.

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Étape 19.1

Multipliez $\cos (0) + i \sin (0)$ par $1$ .

$u_{0} = \cos (0) + i \sin (0)$

Étape 19.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{0} = 1 + i \sin (0)$

Étape 19.2.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$u_{0} = 1 + i \cdot 0$

Étape 19.2.3

Multipliez $i$ par $0$ .

$u_{0} = 1 + 0$

Étape 19.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{0} = 1$

Étape 20

Remplacez $u$ par $x^{3}$ pour calculer la valeur de $z$ après le décalage vers la droite.

$z_{0} = 0 + 1$

Étape 21

Déterminez la valeur de $θ$ pour $r = 1$ .

$3 θ = 2 π (1)$

Étape 22

Résolvez l’équation pour $θ$ .

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Étape 22.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$3 θ = 2 π$

Étape 22.2

Divisez chaque terme dans $3 θ = 2 π$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 22.2.1

Divisez chaque terme dans $3 θ = 2 π$ par $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{2 π}{3}$

Étape 22.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 22.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{2 π}{3}$

Étape 22.2.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Étape 23

Utilisez les valeurs de $θ$ et $r$ pour déterminer une solution à l’équation $u^{3} = - i$ .

$u_{1} = 1 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Étape 24

Convertissez la solution en forme rectangulaire.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.1

Multipliez $\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$ par $1$ .

$u_{1} = \cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 24.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 24.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$u_{1} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 24.2.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 24.2.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})$

Étape 24.2.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 24.2.5

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 25

Remplacez $u$ par $x^{3}$ pour calculer la valeur de $z$ après le décalage vers la droite.

$z_{1} = 0 - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 26

Déterminez la valeur de $θ$ pour $r = 2$ .

$3 θ = 2 π (2)$

Étape 27

Résolvez l’équation pour $θ$ .

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Étape 27.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 θ = 4 π$

Étape 27.2

Divisez chaque terme dans $3 θ = 4 π$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 27.2.1

Divisez chaque terme dans $3 θ = 4 π$ par $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{4 π}{3}$

Étape 27.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 27.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 27.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{4 π}{3}$

Étape 27.2.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Étape 28

Utilisez les valeurs de $θ$ et $r$ pour déterminer une solution à l’équation $u^{3} = - i$ .

$u_{2} = 1 (\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3}))$

Étape 29

Convertissez la solution en forme rectangulaire.

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Étape 29.1

Multipliez $\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$ par $1$ .

$u_{2} = \cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Étape 29.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 29.2.1

$u_{2} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Étape 29.2.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Étape 29.2.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i (- \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 29.2.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 29.2.5

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 30

Remplacez $u$ par $x^{3}$ pour calculer la valeur de $z$ après le décalage vers la droite.

$z_{2} = 0 - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 31

Ce sont les solutions complexes à $u^{3} = - i$ .

$z_{0} = 1$

$z_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$