Algèbre Exemples

$f (x) = - 3 x^{4} + 8 x^{3} + 6 x^{2} - 24 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{4} + 8 x^{3} + 6 x^{2} - 24 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 1.2.3

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 12 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $8$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 1.4.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Étape 1.5.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 12 x - 24 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 12 x - 24 \cdot 1$

Étape 1.5.3

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 12 x - 24$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 12 x - 24$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $- 12$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x^{2}$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $24$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} + 48 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} + 48 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 24)$

Étape 2.4.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} + 48 x + 12 + \frac{d}{d x} (- 24)$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.5.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} + 48 x + 12 + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $- 36 x^{2} + 48 x + 12$ et $0$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} + 48 x + 12$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 12 x - 24 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 12 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $3$ par $8$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.4.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 4.1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Étape 4.1.5.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 12 x - 24 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 12 x - 24 \cdot 1$

Étape 4.1.5.3

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$f' (x) = - 12 x^{3} + 24 x^{2} + 12 x - 24$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 12 x - 24$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 12 x - 24$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 12 x - 24 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 12 x - 24 = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $12$ à partir de $- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 12 x - 24$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $12$ à partir de $- 12 x^{3}$ .

$12 (- x^{3}) + 24 x^{2} + 12 x - 24 = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $12$ à partir de $24 x^{2}$ .

$12 (- x^{3}) + 12 (2 x^{2}) + 12 x - 24 = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $12$ à partir de $12 x$ .

$12 (- x^{3}) + 12 (2 x^{2}) + 12 (x) - 24 = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $12$ à partir de $- 24$ .

$12 (- x^{3}) + 12 (2 x^{2}) + 12 x + 12 \cdot - 2 = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $12$ à partir de $12 (- x^{3}) + 12 (2 x^{2})$ .

$12 (- x^{3} + 2 x^{2}) + 12 x + 12 \cdot - 2 = 0$

Étape 5.2.1.6

Factorisez $12$ à partir de $12 (- x^{3} + 2 x^{2}) + 12 x$ .

$12 (- x^{3} + 2 x^{2} + x) + 12 \cdot - 2 = 0$

Étape 5.2.1.7

Factorisez $12$ à partir de $12 (- x^{3} + 2 x^{2} + x) + 12 \cdot - 2$ .

$12 (- x^{3} + 2 x^{2} + x - 2) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$12 ((- x^{3} + 2 x^{2}) + x - 2) = 0$

Étape 5.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$12 (x^{2} (- x + 2) - 1 (- x + 2)) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 2$ .

$12 ((- x + 2) (x^{2} - 1)) = 0$

Étape 5.2.4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$12 ((- x + 2) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Étape 5.2.5

Factorisez.

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Étape 5.2.5.1

Factorisez.

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Étape 5.2.5.1.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$12 ((- x + 2) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Étape 5.2.5.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$12 ((- x + 2) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 5.2.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$12 (- x + 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$- x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 5.4

Définissez $- x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $- x + 2$ égal à $0$ .

$- x + 2 = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $- x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 2$

Étape 5.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 5.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 5.4.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 5.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x = 2$

Étape 5.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 5.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 5.6

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.6.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 5.6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 (- x + 2) (x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 2, - 1, 1$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 2, - 1, 1$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 36 {(2)}^{2} + 48 (2) + 12$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 36 \cdot 4 + 48 (2) + 12$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 36$ par $4$ .

$- 144 + 48 (2) + 12$

Étape 9.1.3

Multipliez $48$ par $2$ .

$- 144 + 96 + 12$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 9.2.1

Additionnez $- 144$ et $96$ .

$- 48 + 12$

Étape 9.2.2

Additionnez $- 48$ et $12$ .

$- 36$

Étape 10

$x = 2$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 2$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = - 3 {(2)}^{4} + 8 {(2)}^{3} + 6 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (2) = - 3 \cdot 16 + 8 {(2)}^{3} + 6 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $16$ .

$f (2) = - 48 + 8 {(2)}^{3} + 6 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2$

Étape 11.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (2) = - 48 + 8 \cdot 8 + 6 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $8$ par $8$ .

$f (2) = - 48 + 64 + 6 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2$

Étape 11.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = - 48 + 64 + 6 \cdot 4 - 24 \cdot 2$

Étape 11.2.1.6

Multipliez $6$ par $4$ .

$f (2) = - 48 + 64 + 24 - 24 \cdot 2$

Étape 11.2.1.7

Multipliez $- 24$ par $2$ .

$f (2) = - 48 + 64 + 24 - 48$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $- 48$ et $64$ .

$f (2) = 16 + 24 - 48$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $16$ et $24$ .

$f (2) = 40 - 48$

Étape 11.2.2.3

Soustrayez $48$ de $40$ .

$f (2) = - 8$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $- 8$ .

$y = - 8$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 36 {(- 1)}^{2} + 48 (- 1) + 12$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 36 \cdot 1 + 48 (- 1) + 12$

Étape 13.1.2

Multipliez $- 36$ par $1$ .

$- 36 + 48 (- 1) + 12$

Étape 13.1.3

Multipliez $48$ par $- 1$ .

$- 36 - 48 + 12$

Étape 13.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Soustrayez $48$ de $- 36$ .

$- 84 + 12$

Étape 13.2.2

Additionnez $- 84$ et $12$ .

$- 72$

Étape 14

$x = - 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = - 3 {(- 1)}^{4} + 8 {(- 1)}^{3} + 6 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- 1) = - 3 \cdot 1 + 8 {(- 1)}^{3} + 6 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1$

Étape 15.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f (- 1) = - 3 + 8 {(- 1)}^{3} + 6 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1$

Étape 15.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- 1) = - 3 + 8 \cdot - 1 + 6 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1$

Étape 15.2.1.4

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$f (- 1) = - 3 - 8 + 6 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1$

Étape 15.2.1.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = - 3 - 8 + 6 \cdot 1 - 24 \cdot - 1$

Étape 15.2.1.6

Multipliez $6$ par $1$ .

$f (- 1) = - 3 - 8 + 6 - 24 \cdot - 1$

Étape 15.2.1.7

Multipliez $- 24$ par $- 1$ .

$f (- 1) = - 3 - 8 + 6 + 24$

Étape 15.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.1

Soustrayez $8$ de $- 3$ .

$f (- 1) = - 11 + 6 + 24$

Étape 15.2.2.2

Additionnez $- 11$ et $6$ .

$f (- 1) = - 5 + 24$

Étape 15.2.2.3

Additionnez $- 5$ et $24$ .

$f (- 1) = 19$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $19$ .

$y = 19$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 36 {(1)}^{2} + 48 (1) + 12$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 36 \cdot 1 + 48 (1) + 12$

Étape 17.1.2

Multipliez $- 36$ par $1$ .

$- 36 + 48 (1) + 12$

Étape 17.1.3

Multipliez $48$ par $1$ .

$- 36 + 48 + 12$

Étape 17.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 17.2.1

Additionnez $- 36$ et $48$ .

$12 + 12$

Étape 17.2.2

Additionnez $12$ et $12$ .

$24$

Étape 18

$x = 1$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un minimum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = - 3 {(1)}^{4} + 8 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = - 3 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1$

Étape 19.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f (1) = - 3 + 8 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1$

Étape 19.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = - 3 + 8 \cdot 1 + 6 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1$

Étape 19.2.1.4

Multipliez $8$ par $1$ .

$f (1) = - 3 + 8 + 6 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1$

Étape 19.2.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = - 3 + 8 + 6 \cdot 1 - 24 \cdot 1$

Étape 19.2.1.6

Multipliez $6$ par $1$ .

$f (1) = - 3 + 8 + 6 - 24 \cdot 1$

Étape 19.2.1.7

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$f (1) = - 3 + 8 + 6 - 24$

Étape 19.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 19.2.2.1

Additionnez $- 3$ et $8$ .

$f (1) = 5 + 6 - 24$

Étape 19.2.2.2

Additionnez $5$ et $6$ .

$f (1) = 11 - 24$

Étape 19.2.2.3

Soustrayez $24$ de $11$ .

$f (1) = - 13$

Étape 19.2.3

La réponse finale est $- 13$ .

$y = - 13$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - 3 x^{4} + 8 x^{3} + 6 x^{2} - 24 x$ .

$(2, - 8)$ est un maximum local

$(- 1, 19)$ est un maximum local

$(1, - 13)$ est un minimum local

Étape 21