Algèbre Exemples

$\frac{4 + 2 i}{\frac{2}{3} + \frac{1}{2} i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{4 + 2 i}{0.\overline{6} + 0.5 i}$ par le conjugué de $0.\overline{6} + 0.5 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{4 + 2 i}{0.\overline{6} + 0.5 i} \cdot \frac{0.\overline{6} - 0.5 i}{0.\overline{6} - 0.5 i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(4 + 2 i) (0.\overline{6} - 0.5 i)}{(0.\overline{6} + 0.5 i) (0.\overline{6} - 0.5 i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(4 + 2 i) (0.\overline{6} - 0.5 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (0.\overline{6} - 0.5 i) + 2 i (0.\overline{6} - 0.5 i)}{(0.\overline{6} + 0.5 i) (0.\overline{6} - 0.5 i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 \cdot 0.\overline{6} + 4 (- 0.5 i) + 2 i (0.\overline{6} - 0.5 i)}{(0.\overline{6} + 0.5 i) (0.\overline{6} - 0.5 i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 \cdot 0.\overline{6} + 4 (- 0.5 i) + 2 i \cdot 0.\overline{6} + 2 i (- 0.5 i)}{(0.\overline{6} + 0.5 i) (0.\overline{6} - 0.5 i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $4$ par $0.\overline{6}$ .

$\frac{2.\overline{6} + 4 (- 0.5 i) + 2 i \cdot 0.\overline{6} + 2 i (- 0.5 i)}{(0.\overline{6} + 0.5 i) (0.\overline{6} - 0.5 i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $- 0.5$ par $4$ .

$\frac{2.\overline{6} - 2 i + 2 i \cdot 0.\overline{6} + 2 i (- 0.5 i)}{(0.\overline{6} + 0.5 i) (0.\overline{6} - 0.5 i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $0.\overline{6}$ par $2$ .

$\frac{2.\overline{6} - 2 i + 1.\overline{3} i + 2 i (- 0.5 i)}{(0.\overline{6} + 0.5 i) (0.\overline{6} - 0.5 i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $2 i (- 0.5 i)$ .

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Étape 2.2.2.1.4.1

Multipliez $- 0.5$ par $2$ .

$\frac{2.\overline{6} - 2 i + 1.\overline{3} i - 1 i i}{(0.\overline{6} + 0.5 i) (0.\overline{6} - 0.5 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2.\overline{6} - 2 i + 1.\overline{3} i - 1 (i^{1} i)}{(0.\overline{6} + 0.5 i) (0.\overline{6} - 0.5 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2.\overline{6} - 2 i + 1.\overline{3} i - 1 (i^{1} i^{1})}{(0.\overline{6} + 0.5 i) (0.\overline{6} - 0.5 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2.\overline{6} - 2 i + 1.\overline{3} i - 1 i^{1 + 1}}{(0.\overline{6} + 0.5 i) (0.\overline{6} - 0.5 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2.\overline{6} - 2 i + 1.\overline{3} i - 1 i^{2}}{(0.\overline{6} + 0.5 i) (0.\overline{6} - 0.5 i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{2.\overline{6} - 2 i + 1.\overline{3} i - 1 \cdot - 1}{(0.\overline{6} + 0.5 i) (0.\overline{6} - 0.5 i)}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2.\overline{6} - 2 i + 1.\overline{3} i + 1}{(0.\overline{6} + 0.5 i) (0.\overline{6} - 0.5 i)}$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $2.\overline{6}$ et $1$ .

$\frac{3.\overline{6} - 2 i + 1.\overline{3} i}{(0.\overline{6} + 0.5 i) (0.\overline{6} - 0.5 i)}$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $- 2 i$ et $1.\overline{3} i$ .

$\frac{3.\overline{6} - 0.\overline{6} i}{(0.\overline{6} + 0.5 i) (0.\overline{6} - 0.5 i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(0.\overline{6} + 0.5 i) (0.\overline{6} - 0.5 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3.\overline{6} - 0.\overline{6} i}{0.\overline{6} (0.\overline{6} - 0.5 i) + 0.5 i (0.\overline{6} - 0.5 i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3.\overline{6} - 0.\overline{6} i}{0.\overline{6} \cdot 0.\overline{6} + 0.\overline{6} (- 0.5 i) + 0.5 i (0.\overline{6} - 0.5 i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3.\overline{6} - 0.\overline{6} i}{0.\overline{6} \cdot 0.\overline{6} + 0.\overline{6} (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.\overline{6} + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $0.\overline{6}$ par $0.\overline{6}$ .

$\frac{3.\overline{6} - 0.\overline{6} i}{0.\overline{4} + 0.\overline{6} (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.\overline{6} + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 0.5$ par $0.\overline{6}$ .

$\frac{3.\overline{6} - 0.\overline{6} i}{0.\overline{4} - 0.\overline{3} i + 0.5 i \cdot 0.\overline{6} + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $0.\overline{6}$ par $0.5$ .

$\frac{3.\overline{6} - 0.\overline{6} i}{0.\overline{4} - 0.\overline{3} i + 0.\overline{3} i + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $- 0.5$ par $0.5$ .

$\frac{3.\overline{6} - 0.\overline{6} i}{0.\overline{4} - 0.\overline{3} i + 0.\overline{3} i - 0.25 i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{3.\overline{6} - 0.\overline{6} i}{0.\overline{4} - 0.\overline{3} i + 0.\overline{3} i - 0.25 (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{3.\overline{6} - 0.\overline{6} i}{0.\overline{4} - 0.\overline{3} i + 0.\overline{3} i - 0.25 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3.\overline{6} - 0.\overline{6} i}{0.\overline{4} - 0.\overline{3} i + 0.\overline{3} i - 0.25 i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3.\overline{6} - 0.\overline{6} i}{0.\overline{4} - 0.\overline{3} i + 0.\overline{3} i - 0.25 i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Additionnez $- 0.\overline{3} i$ et $0.\overline{3} i$ .

$\frac{3.\overline{6} - 0.\overline{6} i}{0.\overline{4} + 0 i - 0.25 i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $0$ par $i$ .

$\frac{3.\overline{6} - 0.\overline{6} i}{0.\overline{4} + 0 - 0.25 i^{2}}$

Étape 2.3.3.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{3.\overline{6} - 0.\overline{6} i}{0.\overline{4} + 0 - 0.25 \cdot - 1}$

Étape 2.3.3.3

Multipliez $- 0.25$ par $- 1$ .

$\frac{3.\overline{6} - 0.\overline{6} i}{0.\overline{4} + 0 + 0.25}$

Étape 2.3.4

Additionnez $0.\overline{4}$ et $0$ .

$\frac{3.\overline{6} - 0.\overline{6} i}{0.\overline{4} + 0.25}$

Étape 2.3.5

Additionnez $0.\overline{4}$ et $0.25$ .

$\frac{3.\overline{6} - 0.\overline{6} i}{0.69\overline{4}}$

Étape 3

Réécrivez $3.\overline{6}$ comme $1 (3.\overline{6})$ .

$\frac{1 (3.\overline{6}) - 0.\overline{6} i}{0.69\overline{4}}$

Étape 4

Factorisez $1$ à partir de $- 0.\overline{6} i$ .

$\frac{1 (3.\overline{6}) + 1 (- 0.\overline{6} i)}{0.69\overline{4}}$

Étape 5

Factorisez $1$ à partir de $1 (3.\overline{6}) + 1 (- 0.\overline{6} i)$ .

$\frac{1 (3.\overline{6} - 0.\overline{6} i)}{0.69\overline{4}}$

Étape 6

Factorisez $0.69\overline{4}$ à partir de $0.69\overline{4}$ .

$\frac{1 (3.\overline{6} - 0.\overline{6} i)}{0.69\overline{4} (1)}$

Étape 7

Séparez les fractions.

$\frac{1}{0.69\overline{4}} \cdot \frac{3.\overline{6} - 0.\overline{6} i}{1}$

Étape 8

Divisez $1$ par $0.69\overline{4}$ .

$1.43\overline{9} \frac{3.\overline{6} - 0.\overline{6} i}{1}$

Étape 9

Divisez $3.\overline{6} - 0.\overline{6} i$ par $1$ .

$1.43\overline{9} (3.\overline{6} - 0.\overline{6} i)$

Étape 10

Appliquez la propriété distributive.

$1.43\overline{9} \cdot 3.\overline{6} + 1.43\overline{9} (- 0.\overline{6} i)$

Étape 11

Multipliez $1.43\overline{9}$ par $3.\overline{6}$ .

$5.27\overline{9} + 1.43\overline{9} (- 0.\overline{6} i)$

Étape 12

Multipliez $- 0.\overline{6}$ par $1.43\overline{9}$ .

$5.27\overline{9} - 0.95\overline{9} i$