Algèbre Exemples

$\frac{5}{x + 4} - \frac{2}{x - 4} = \frac{5 x}{x^{2} - 16}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{5 x}{x^{2} - 16}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{5}{x + 4} - \frac{2}{x - 4} - \frac{5 x}{x^{2} - 16} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{5}{x + 4} - \frac{2}{x - 4} - \frac{5 x}{x^{2} - 16}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{5}{x + 4} - \frac{2}{x - 4} - \frac{5 x}{x^{2} - 4^{2}} = 0$

Étape 2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$\frac{5}{x + 4} - \frac{2}{x - 4} - \frac{5 x}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{5}{x + 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{5}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{2}{x - 4} - \frac{5 x}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.3

Pour écrire $- \frac{2}{x - 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{5}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{2}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} - \frac{5 x}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 4) (x - 4)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{5}{x + 4}$ par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{5 (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{2}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} - \frac{5 x}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{2}{x - 4}$ par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{5 (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{2 (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} - \frac{5 x}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 4) (x + 4)$ .

$\frac{5 (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{2 (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{5 x}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 (x - 4) - 2 (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{5 x}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 (x - 4) - 2 (x + 4) - 5 x}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x + 5 \cdot - 4 - 2 (x + 4) - 5 x}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.7.2

Multipliez $5$ par $- 4$ .

$\frac{5 x - 20 - 2 (x + 4) - 5 x}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x - 20 - 2 x - 2 \cdot 4 - 5 x}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.7.4

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\frac{5 x - 20 - 2 x - 8 - 5 x}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.8

Associez les termes opposés dans $5 x - 20 - 2 x - 8 - 5 x$ .

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Étape 2.8.1

Soustrayez $5 x$ de $5 x$ .

$\frac{- 20 - 2 x - 8 + 0}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.8.2

Additionnez $- 20 - 2 x - 8$ et $0$ .

$\frac{- 20 - 2 x - 8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.9

Soustrayez $8$ de $- 20$ .

$\frac{- 2 x - 28}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.10

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x - 28$ .

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Étape 2.10.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) - 28}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.10.2

Factorisez $2$ à partir de $- 28$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (- 14)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.10.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (- 14)$ .

$\frac{2 (- x - 14)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) - 14)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.12

Réécrivez $- 14$ comme $- 1 (14)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (14))}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (14)$ .

$\frac{2 (- (x + 14))}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.14

Réécrivez $- (x + 14)$ comme $- 1 (x + 14)$ .

$\frac{2 (- 1 (x + 14))}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 (x + 14)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 (x + 14)}{(x + 4) (x - 4)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(x + 4) (x - 4) = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 4.2

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 4.2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 4.3

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 4.3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 4.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 4) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = - 4, 4$

Étape 5

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 4, x = 4$

Étape 6