Algèbre Exemples

$\arcsin (\sqrt{\sin (11 x)})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\sin (11 x)}$ comme ${\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin ({\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arcsin (x)$ et $g (x) = {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [{\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\arcsin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [{\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {({\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${({\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{1} (11 x)}} \frac{d}{d x} [{\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4

Simplifiez

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} \frac{d}{d x} [{\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = \sin (11 x)$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sin (11 x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (11 x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{1}{2} {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Étape 6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{1}{2} {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Étape 7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{1}{2} {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{1}{2} {\sin (11 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{1}{2} {\sin (11 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Étape 9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{1}{2} {\sin (11 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Étape 10

Associez les fractions.

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Étape 10.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{1}{2} {\sin (11 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Étape 10.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${\sin (11 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{{\sin (11 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Étape 10.3

Placez ${\sin (11 x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{1}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Étape 10.4

Multipliez $\frac{1}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}}$ .

$\frac{1}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)]$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 11 x$ .

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Étape 11.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $11 x$ .

$\frac{1}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [11 x])$

Étape 11.2

La dérivée de $\sin (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\cos (u_{3})$ .

$\frac{1}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [11 x])$

Étape 11.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $11 x$ .

$\frac{1}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\cos (11 x) \frac{d}{d x} [11 x])$

Étape 12

Différenciez.

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Étape 12.1

Associez $\cos (11 x)$ et $\frac{1}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}}$ .

$\frac{\cos (11 x)}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}} \frac{d}{d x} [11 x]$

Étape 12.2

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11 x$ par rapport à $x$ est $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cos (11 x)}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}} (11 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 12.3

Associez $11$ et $\frac{\cos (11 x)}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}}$ .

$\frac{11 \cos (11 x)}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 12.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{11 \cos (11 x)}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}} \cdot 1$

Étape 12.5

Multipliez $\frac{11 \cos (11 x)}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}}$ par $1$ .

$\frac{11 \cos (11 x)}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}}$