Algèbre Exemples

$f (t) = 15 t e^{- \frac{1}{3} t}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Associez $t$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d t} [15 t e^{- \frac{t}{3}}]$

Étape 1.2

Comme $15$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $15 t e^{- \frac{t}{3}}$ par rapport à $t$ est $15 \frac{d}{d t} [t e^{- \frac{t}{3}}]$ .

$15 \frac{d}{d t} [t e^{- \frac{t}{3}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t$ et $g (t) = e^{- \frac{t}{3}}$ .

$15 (t \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{3}}] + e^{- \frac{t}{3}} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - \frac{t}{3}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- \frac{t}{3}$ .

$15 (t (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- \frac{t}{3}]) + e^{- \frac{t}{3}} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$15 (t (e^{u} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{3}]) + e^{- \frac{t}{3}} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{t}{3}$ .

$15 (t (e^{- \frac{t}{3}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{3}]) + e^{- \frac{t}{3}} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $- \frac{1}{3}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \frac{t}{3}$ par rapport à $t$ est $- \frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$ .

$15 (t (e^{- \frac{t}{3}} (- \frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t])) + e^{- \frac{t}{3}} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.1

Associez $e^{- \frac{t}{3}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$15 (t (- \frac{e^{- \frac{t}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [t]) + e^{- \frac{t}{3}} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.2.2

Associez $t$ et $\frac{e^{- \frac{t}{3}}}{3}$ .

$15 (- \frac{t e^{- \frac{t}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [t] + e^{- \frac{t}{3}} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$15 (- \frac{t e^{- \frac{t}{3}}}{3} \cdot 1 + e^{- \frac{t}{3}} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$15 (- \frac{t e^{- \frac{t}{3}}}{3} + e^{- \frac{t}{3}} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$15 (- \frac{t e^{- \frac{t}{3}}}{3} + e^{- \frac{t}{3}} \cdot 1)$

Étape 4.6

Multipliez $e^{- \frac{t}{3}}$ par $1$ .

$15 (- \frac{t e^{- \frac{t}{3}}}{3} + e^{- \frac{t}{3}})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$15 (- \frac{t e^{- \frac{t}{3}}}{3}) + 15 e^{- \frac{t}{3}}$

Étape 5.2

Associez des termes.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$- 15 \frac{t e^{- \frac{t}{3}}}{3} + 15 e^{- \frac{t}{3}}$

Étape 5.2.2

Associez $- 15$ et $\frac{t e^{- \frac{t}{3}}}{3}$ .

$\frac{- 15 (t e^{- \frac{t}{3}})}{3} + 15 e^{- \frac{t}{3}}$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun à $- 15$ et $3$ .

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Étape 5.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 15 t e^{- \frac{t}{3}}$ .

$\frac{3 (- 5 t e^{- \frac{t}{3}})}{3} + 15 e^{- \frac{t}{3}}$

Étape 5.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (- 5 t e^{- \frac{t}{3}})}{3 (1)} + 15 e^{- \frac{t}{3}}$

Étape 5.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- 5 t e^{- \frac{t}{3}})}{3 \cdot 1} + 15 e^{- \frac{t}{3}}$

Étape 5.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 5 t e^{- \frac{t}{3}}}{1} + 15 e^{- \frac{t}{3}}$

Étape 5.2.3.2.4

Divisez $- 5 t e^{- \frac{t}{3}}$ par $1$ .

$- 5 t e^{- \frac{t}{3}} + 15 e^{- \frac{t}{3}}$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 5 e^{- \frac{t}{3}} t + 15 e^{- \frac{t}{3}}$

Étape 5.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 5 e^{- \frac{t}{3}} t + 15 e^{- \frac{t}{3}}$ .

$- 5 t e^{- \frac{t}{3}} + 15 e^{- \frac{t}{3}}$