Algèbre Exemples

$s (t) = 20 e^{\frac{1}{2} t^{3} + 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{3}$ .

$\frac{d}{d t} [20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}]$

Étape 1.2

Comme $20$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}$ par rapport à $t$ est $20 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}]$ .

$20 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = \frac{t^{3}}{2} + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{t^{3}}{2} + 1$ .

$20 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{2} + 1])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$20 (e^{u} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{2} + 1])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{t^{3}}{2} + 1$ .

$20 (e^{\frac{t^{3}}{2} + 1} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{2} + 1])$

Étape 3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{t^{3}}{2} + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1} (\frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{2}] + \frac{d}{d t} [1])$

Étape 3.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{t^{3}}{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [1])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1} (\frac{1}{2} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [1])$

Étape 3.4

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1} (\frac{3}{2} t^{2} + \frac{d}{d t} [1])$

Étape 3.4.2

Associez $\frac{3}{2}$ et $t^{2}$ .

$20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1} (\frac{3 t^{2}}{2} + \frac{d}{d t} [1])$

Étape 3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1} (\frac{3 t^{2}}{2} + 0)$

Étape 3.6

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Additionnez $\frac{3 t^{2}}{2}$ et $0$ .

$20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1} \frac{3 t^{2}}{2}$

Étape 3.6.2

Associez $\frac{3 t^{2}}{2}$ et $20$ .

$\frac{3 t^{2} \cdot 20}{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}$

Étape 3.6.3

Multipliez $20$ par $3$ .

$\frac{60 t^{2}}{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}$

Étape 3.6.4

Associez $\frac{60 t^{2}}{2}$ et $e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}$ .

$\frac{60 t^{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}}{2}$

Étape 3.6.5

Annulez le facteur commun à $60$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.5.1

Factorisez $2$ à partir de $60 t^{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}$ .

$\frac{2 (30 t^{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1})}{2}$

Étape 3.6.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (30 t^{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1})}{2 (1)}$

Étape 3.6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (30 t^{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1})}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{30 t^{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}}{1}$

Étape 3.6.5.2.4

Divisez $30 t^{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}$ par $1$ .

$30 t^{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}$