Algèbre Exemples

$e^{- 0.002 t^{2}} (\sqrt{t} + t^{4})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}} (t^{\frac{1}{2}} + t^{4})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = e^{- 0.002 t^{2}}$ et $g (t) = t^{\frac{1}{2}} + t^{4}$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}} + t^{4}] + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{\frac{1}{2}} + t^{4}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [t^{4}]$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

Étape 8.2

Associez les fractions.

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Étape 8.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

Étape 8.2.2

Placez $t^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

Étape 8.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 4 t^{3}) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - 0.002 t^{2}$ .

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Étape 9.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 0.002 t^{2}$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 4 t^{3}) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- 0.002 t^{2}])$

Étape 9.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 4 t^{3}) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) (e^{u} \frac{d}{d t} [- 0.002 t^{2}])$

Étape 9.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 0.002 t^{2}$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 4 t^{3}) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) (e^{- 0.002 t^{2}} \frac{d}{d t} [- 0.002 t^{2}])$

Étape 10

Différenciez.

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Étape 10.1

Comme $- 0.002$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 0.002 t^{2}$ par rapport à $t$ est $- 0.002 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 4 t^{3}) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.002 \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 10.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 4 t^{3}) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.002 (2 t))$

Étape 10.3

Multipliez $2$ par $- 0.002$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 4 t^{3}) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t)$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{- 0.002 t^{2}} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t)$

Étape 11.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{- 0.002 t^{2}} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) + (t^{\frac{1}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} + t^{4} e^{- 0.002 t^{2}}) (- 0.004 t)$

Étape 11.3

Appliquez la propriété distributive.

$e^{- 0.002 t^{2}} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) + t^{\frac{1}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t) + t^{4} e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t)$

Étape 11.4

Associez des termes.

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Étape 11.4.1

Associez $e^{- 0.002 t^{2}}$ et $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) + t^{\frac{1}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t) + t^{4} e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t)$

Étape 11.4.2

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) + t^{1} t^{\frac{1}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} \cdot - 0.004 + t^{4} e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t)$

Étape 11.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) + t^{1 + \frac{1}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} \cdot - 0.004 + t^{4} e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t)$

Étape 11.4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) + t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} \cdot - 0.004 + t^{4} e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t)$

Étape 11.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) + t^{\frac{2 + 1}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} \cdot - 0.004 + t^{4} e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t)$

Étape 11.4.6

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) + t^{\frac{3}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} \cdot - 0.004 + t^{4} e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t)$

Étape 11.4.7

Déplacez $- 0.004$ à gauche de $t^{\frac{3}{2}} e^{- 0.002 t^{2}}$ .

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) - 0.004 \cdot (t^{\frac{3}{2}} e^{- 0.002 t^{2}}) + t^{4} e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t)$

Étape 11.4.8

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) - 0.004 t^{\frac{3}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} + t^{1} t^{4} e^{- 0.002 t^{2}} \cdot - 0.004$

Étape 11.4.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) - 0.004 t^{\frac{3}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} + t^{1 + 4} e^{- 0.002 t^{2}} \cdot - 0.004$

Étape 11.4.10

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) - 0.004 t^{\frac{3}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} + t^{5} e^{- 0.002 t^{2}} \cdot - 0.004$

Étape 11.4.11

Déplacez $- 0.004$ à gauche de $t^{5} e^{- 0.002 t^{2}}$ .

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) - 0.004 t^{\frac{3}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} - 0.004 t^{5} e^{- 0.002 t^{2}}$

Étape 11.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 e^{- 0.002 t^{2}} t^{3} - 0.004 e^{- 0.002 t^{2}} t^{\frac{3}{2}} - 0.004 e^{- 0.002 t^{2}} t^{5} + \frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$