Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 23}$ , $g (x) = \sqrt{x + 100}$

Étape 1

Définissez la fonction de résultat composé.

$g (f (x))$

Étape 2

Évaluez $g (\frac{1}{x^{2} + 23})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $g$ .

$g (\frac{1}{x^{2} + 23}) = \sqrt{(\frac{1}{x^{2} + 23}) + 100}$

Étape 3

Pour écrire $100$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2} + 23}{x^{2} + 23}$ .

$g (\frac{1}{x^{2} + 23}) = \sqrt{\frac{1}{x^{2} + 23} + \frac{100 (x^{2} + 23)}{x^{2} + 23}}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$g (\frac{1}{x^{2} + 23}) = \sqrt{\frac{1 + 100 (x^{2} + 23)}{x^{2} + 23}}$

Étape 5

Remettez les termes dans l’ordre.

$g (\frac{1}{x^{2} + 23}) = \sqrt{\frac{100 (x^{2} + 23) + 1}{x^{2} + 23}}$

Étape 6

Réécrivez $\frac{100 (x^{2} + 23) + 1}{x^{2} + 23}$ en forme factorisée.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$g (\frac{1}{x^{2} + 23}) = \sqrt{\frac{100 x^{2} + 100 \cdot 23 + 1}{x^{2} + 23}}$

Étape 6.2

Multipliez $100$ par $23$ .

$g (\frac{1}{x^{2} + 23}) = \sqrt{\frac{100 x^{2} + 2300 + 1}{x^{2} + 23}}$

Étape 6.3

Additionnez $2300$ et $1$ .

$g (\frac{1}{x^{2} + 23}) = \sqrt{\frac{100 x^{2} + 2301}{x^{2} + 23}}$

Étape 7

Réécrivez $\sqrt{\frac{100 x^{2} + 2301}{x^{2} + 23}}$ comme $\frac{\sqrt{100 x^{2} + 2301}}{\sqrt{x^{2} + 23}}$ .

$g (\frac{1}{x^{2} + 23}) = \frac{\sqrt{100 x^{2} + 2301}}{\sqrt{x^{2} + 23}}$

Étape 8

Multipliez $\frac{\sqrt{100 x^{2} + 2301}}{\sqrt{x^{2} + 23}}$ par $\frac{\sqrt{x^{2} + 23}}{\sqrt{x^{2} + 23}}$ .

$g (\frac{1}{x^{2} + 23}) = \frac{\sqrt{100 x^{2} + 2301}}{\sqrt{x^{2} + 23}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 23}}{\sqrt{x^{2} + 23}}$

Étape 9

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1

Multipliez $\frac{\sqrt{100 x^{2} + 2301}}{\sqrt{x^{2} + 23}}$ par $\frac{\sqrt{x^{2} + 23}}{\sqrt{x^{2} + 23}}$ .

$g (\frac{1}{x^{2} + 23}) = \frac{\sqrt{100 x^{2} + 2301} \sqrt{x^{2} + 23}}{\sqrt{x^{2} + 23} \sqrt{x^{2} + 23}}$

Étape 9.2

Élevez $\sqrt{x^{2} + 23}$ à la puissance $1$ .

$g (\frac{1}{x^{2} + 23}) = \frac{\sqrt{100 x^{2} + 2301} \sqrt{x^{2} + 23}}{\sqrt{x^{2} + 23} \sqrt{x^{2} + 23}}$

Étape 9.3

Élevez $\sqrt{x^{2} + 23}$ à la puissance $1$ .

$g (\frac{1}{x^{2} + 23}) = \frac{\sqrt{100 x^{2} + 2301} \sqrt{x^{2} + 23}}{\sqrt{x^{2} + 23} \sqrt{x^{2} + 23}}$

Étape 9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$g (\frac{1}{x^{2} + 23}) = \frac{\sqrt{100 x^{2} + 2301} \sqrt{x^{2} + 23}}{{\sqrt{x^{2} + 23}}^{1 + 1}}$

Étape 9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$g (\frac{1}{x^{2} + 23}) = \frac{\sqrt{100 x^{2} + 2301} \sqrt{x^{2} + 23}}{{\sqrt{x^{2} + 23}}^{2}}$

Étape 9.6

Réécrivez ${\sqrt{x^{2} + 23}}^{2}$ comme $x^{2} + 23$ .

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Étape 9.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 23}$ comme ${(x^{2} + 23)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g (\frac{1}{x^{2} + 23}) = \frac{\sqrt{100 x^{2} + 2301} \sqrt{x^{2} + 23}}{{({(x^{2} + 23)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (\frac{1}{x^{2} + 23}) = \frac{\sqrt{100 x^{2} + 2301} \sqrt{x^{2} + 23}}{{(x^{2} + 23)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$g (\frac{1}{x^{2} + 23}) = \frac{\sqrt{100 x^{2} + 2301} \sqrt{x^{2} + 23}}{{(x^{2} + 23)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$g (\frac{1}{x^{2} + 23}) = \frac{\sqrt{100 x^{2} + 2301} \sqrt{x^{2} + 23}}{{(x^{2} + 23)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$g (\frac{1}{x^{2} + 23}) = \frac{\sqrt{100 x^{2} + 2301} \sqrt{x^{2} + 23}}{x^{2} + 23}$

Étape 9.6.5

Simplifiez

$g (\frac{1}{x^{2} + 23}) = \frac{\sqrt{100 x^{2} + 2301} \sqrt{x^{2} + 23}}{x^{2} + 23}$

Étape 10

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$g (\frac{1}{x^{2} + 23}) = \frac{\sqrt{(100 x^{2} + 2301) (x^{2} + 23)}}{x^{2} + 23}$