Algèbre Exemples

$2 + \sqrt{3}$ , $2 - \sqrt{3}$

Étape 1

Les racines sont les points où le graphe croise l’axe des x $(y = 0)$ .

$y = 0$ aux racines

Étape 2

La racine sur $x = 2 + \sqrt{3}$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (2 + \sqrt{3}) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x - 2 - \sqrt{3}$

Étape 3

La racine sur $x = 2 - \sqrt{3}$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (2 - \sqrt{3}) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x - 2 + \sqrt{3}$

Étape 4

Associez tous les facteurs en une équation unique.

$y = (x - 2 - \sqrt{3}) (x - 2 + \sqrt{3})$

Étape 5

Multipliez tous les facteurs pour simplifier l’équation $y = (x - 2 - \sqrt{3}) (x - 2 + \sqrt{3})$ .

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Étape 5.1

Développez $(x - 2 - \sqrt{3}) (x - 2 + \sqrt{3})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$y = x \cdot x + x \cdot - 2 + x \sqrt{3} - 2 x - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} x - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} \sqrt{3}$

Étape 5.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.1

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 2 + x \sqrt{3} - 2 x - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} x - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

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Étape 5.2.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \sqrt{3}$ et $- \sqrt{3} x$ .

$y = x \cdot x + x \cdot - 2 + x \sqrt{3} - 2 x - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} - x \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} \sqrt{3}$

Étape 5.2.1.2

Soustrayez $x \sqrt{3}$ de $x \sqrt{3}$ .

$y = x \cdot x + x \cdot - 2 + 0 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} \sqrt{3}$

Étape 5.2.1.3

Additionnez $x \cdot x + x \cdot - 2$ et $0$ .

$y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} \sqrt{3}$

Étape 5.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} \sqrt{3}$

Étape 5.2.2.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$y = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} \sqrt{3}$

Étape 5.2.2.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$y = x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} \sqrt{3}$

Étape 5.2.2.4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y = x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \sqrt{3}$

Étape 5.2.2.5

Multipliez $- \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

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Étape 5.2.2.5.1

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$y = x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - (\sqrt{3} \sqrt{3})$

Étape 5.2.2.5.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$y = x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - (\sqrt{3} \sqrt{3})$

Étape 5.2.2.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

Étape 5.2.2.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}$

Étape 5.2.2.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.2.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 5.2.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 5.2.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 5.2.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 5.2.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 3$

Étape 5.2.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$y = x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 1 \cdot 3$

Étape 5.2.2.7

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 3$

Étape 5.2.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.2.3.1

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 3$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Additionnez $- 2 \sqrt{3}$ et $2 \sqrt{3}$ .

$y = x^{2} - 2 x - 2 x + 4 + 0 - 3$

Étape 5.2.3.1.2

Additionnez $x^{2} - 2 x - 2 x + 4$ et $0$ .

$y = x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 3$

Étape 5.2.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$y = x^{2} - 4 x + 4 - 3$

Étape 5.2.3.3

Soustrayez $3$ de $4$ .

$y = x^{2} - 4 x + 1$

Étape 6