Algèbre Exemples

$576 x^{2} - 16 y^{2} = 144$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme par $144$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{576 x^{2}}{144} - \frac{16 y^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{4}} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

Étape 4

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 4.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(3)}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(3)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(3)}^{2}}$

Étape 4.3.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(3)}^{2}}$

Étape 4.3.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + 9}$

Étape 4.3.5

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + 9 \cdot \frac{4}{4}}$

Étape 4.3.6

Associez $9$ et $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9 \cdot 4}{4}}$

Étape 4.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{1 + 9 \cdot 4}{4}}$

Étape 4.3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.8.1

Multipliez $9$ par $4$ .

$\sqrt{\frac{1 + 36}{4}}$

Étape 4.3.8.2

Additionnez $1$ et $36$ .

$\sqrt{\frac{37}{4}}$

Étape 4.3.9

Réécrivez $\sqrt{\frac{37}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{4}}$

Étape 4.3.10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.10.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 4.3.10.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{37}}{2}$

Étape 5

Déterminez les foyers.

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Étape 5.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{\sqrt{37}}{2}, 0)$

Étape 5.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 5.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- \frac{\sqrt{37}}{2}, 0)$

Étape 5.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(\frac{\sqrt{37}}{2}, 0), (- \frac{\sqrt{37}}{2}, 0)$

Étape 6