Algèbre Exemples

$P (x) = x^{4} - 2 x^{2} - 8$ , $d (x) = x + 2$

Étape 1

Remplacez les indicateurs de fonctions par les fonctions réelles dans $\frac{P (x)}{d (x)}$ .

$\frac{x^{4} - 2 x^{2} - 8}{x + 2}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 8}{x + 2}$

Étape 2.1.2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$\frac{u^{2} - 2 u - 8}{x + 2}$

Étape 2.1.3

Factorisez $u^{2} - 2 u - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 4, 2$

Étape 2.1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(u - 4) (u + 2)}{x + 2}$

Étape 2.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (x^{2} + 2)}{x + 2}$

Étape 2.1.5

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{(x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 2)}{x + 2}$

Étape 2.1.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2}$

Étape 2.2.2

Divisez $(x - 2) (x^{2} + 2)$ par $1$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2)$

Étape 2.3

Développez $(x - 2) (x^{2} + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x^{2} + 2) - 2 (x^{2} + 2)$

Étape 2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x^{2} + x \cdot 2 - 2 (x^{2} + 2)$

Étape 2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x^{2} + x \cdot 2 - 2 x^{2} - 2 \cdot 2$

Étape 2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.4.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{2} + x \cdot 2 - 2 x^{2} - 2 \cdot 2$

Étape 2.4.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 2} + x \cdot 2 - 2 x^{2} - 2 \cdot 2$

Étape 2.4.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{3} + x \cdot 2 - 2 x^{2} - 2 \cdot 2$

Étape 2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$x^{3} + 2 \cdot x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$x^{3} + 2 x - 2 x^{2} - 4$