Algèbre Exemples

$f (x, y) = 3 x + 2 y$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $f (x, y) - 3 x - 2 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 1.2

Multipliez $f$ par chaque élément de la matrice.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $- 2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3$ et $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $d$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par chaque élément de la matrice.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.3

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 2.2.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $f x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{x} (f y)$ .

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Étape 2.2.3.2.1

Associez $f$ et $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.3.2.2

Associez $\frac{f}{x}$ et $y$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $\frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 3 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $f (x, y) - 3 x - 2 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 4.1.2

Multipliez $f$ par chaque élément de la matrice.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 3$ .

$\frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 3$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 3 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 3 = 0$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $d$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y) - 3 = 0$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x} \cdot (f x, f y) - 3 = 0$

Étape 5.2.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par chaque élément de la matrice.

$(\frac{1}{x} (f x), \frac{1}{x} (f y)) - 3 = 0$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $f x$ .

$(\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) - 3 = 0$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$(\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) - 3 = 0$

Étape 5.2.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$(f, \frac{1}{x} (f y)) - 3 = 0$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{x} (f y)$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Associez $f$ et $\frac{1}{x}$ .

$(f, \frac{f}{x} y) - 3 = 0$

Étape 5.2.3.2.2

Associez $\frac{f}{x}$ et $y$ .

$(f, \frac{f y}{x}) - 3 = 0$

Étape 5.3

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$(f, \frac{f y}{x}) = 3$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{d}{d x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$d x = 0$

Étape 6.2

Divisez chaque terme dans $d x = 0$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $d x = 0$ par $x$ .

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Étape 6.2.2.1.2

Divisez $d$ par $1$ .

$d = \frac{0}{x}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Divisez $0$ par $x$ .

$d = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{d}{d (0)} ((f, \frac{f y}{0}))$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Multipliez $d$ par $0$ .

$\frac{d}{0} (f, \frac{f y}{0})$

Étape 9.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 10

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 11