Algèbre Exemples

$x^{4} - 145 x^{2} + 144 \geq 0$

Étape 1

Résolvez $x \leq - 12 or - 1 \leq x \leq 1 or x \geq 12$ .

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Étape 1.1

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} - 145 u + 144 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 1.2

Factorisez $u^{2} - 145 u + 144$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $144$ et dont la somme est $- 145$ .

$- 144, - 1$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 144) (u - 1) = 0$

Étape 1.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 144 = 0$

$u - 1 = 0$

Étape 1.4

Définissez $u - 144$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 1.4.1

Définissez $u - 144$ égal à $0$ .

$u - 144 = 0$

Étape 1.4.2

Ajoutez $144$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 144$

Étape 1.5

Définissez $u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 1.5.1

Définissez $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 1.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 1.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 144) (u - 1) = 0$ vraie.

$u = 144, 1$

Étape 1.7

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = 144$

${(x^{2})}^{1} = 1$

Étape 1.8

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = 144$

Étape 1.9

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{144}$

Étape 1.9.2

Simplifiez $\pm \sqrt{144}$ .

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Étape 1.9.2.1

Réécrivez $144$ comme $12^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{12^{2}}$

Étape 1.9.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 12$

Étape 1.9.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.9.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 12$

Étape 1.9.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 12$

Étape 1.9.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 12, - 12$

Étape 1.10

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 1$

Étape 1.11

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.11.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = 1$

Étape 1.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 1.11.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 1.11.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.11.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 1.11.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 1.11.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 1.12

La solution à $x^{4} - 145 x^{2} + 144 = 0$ est $x = 12, - 12, 1, - 1$ .

$x = 12, - 12, 1, - 1$

Étape 1.13

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 12$

$- 12 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 12$

$x > 12$

Étape 1.14

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 1.14.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 12$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.14.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 12$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 14$

Étape 1.14.1.2

Remplacez $x$ par $- 14$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 14)}^{4} - 145 {(- 14)}^{2} + 144 \geq 0$

Étape 1.14.1.3

Le côté gauche $10140$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.14.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 12 < x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.14.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 12 < x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 1.14.2.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 4)}^{4} - 145 {(- 4)}^{2} + 144 \geq 0$

Étape 1.14.2.3

Le côté gauche $- 1920$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.14.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.14.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 1.14.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{4} - 145 {(0)}^{2} + 144 \geq 0$

Étape 1.14.3.3

Le côté gauche $144$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.14.4

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 12$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.14.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 12$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 1.14.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

${(4)}^{4} - 145 {(4)}^{2} + 144 \geq 0$

Étape 1.14.4.3

Le côté gauche $- 1920$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.14.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 12$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.14.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 12$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 14$

Étape 1.14.5.2

Remplacez $x$ par $14$ dans l’inégalité d’origine.

${(14)}^{4} - 145 {(14)}^{2} + 144 \geq 0$

Étape 1.14.5.3

Le côté gauche $10140$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.14.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 12$ Vrai

$- 12 < x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 1$ Vrai

$1 < x < 12$ Faux

$x > 12$ Vrai

$x < - 12$ Vrai

$- 12 < x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 1$ Vrai

$1 < x < 12$ Faux

$x > 12$ Vrai

Étape 1.15

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 12$ ou $- 1 \leq x \leq 1$ ou $x \geq 12$

Étape 2

Utilisez l’inégalité $x \leq - 12 or - 1 \leq x \leq 1 or x \geq 12$ pour créer la notation de l’ensemble.

${x | x \leq - 12 or - 1 \leq x \leq 1 or x \geq 12}$

Étape 3