Algèbre Exemples

$y = 10 \sqrt{x}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 10 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (10 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Comme $10$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $10 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $y$ est $10 \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$10 \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$10 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$10 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$10 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$10 (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.9

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.10

Associez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $10$ .

$\frac{10}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 4.11

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 4.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 (x^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 4.12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 4.12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 4.13

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} x'$

Étape 4.14

Associez $\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}$ et $x'$ .

$\frac{5 x'}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = \frac{5 x'}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Résolvez $x'$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{5 x'}{x^{\frac{1}{2}}} = 1$ .

$\frac{5 x'}{x^{\frac{1}{2}}} = 1$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 x'}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x'}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$5 x' = 1 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$5 x' = x^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.4

Divisez chaque terme dans $5 x' = x^{\frac{1}{2}}$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 6.4.1

Divisez chaque terme dans $5 x' = x^{\frac{1}{2}}$ par $5$ .

$\frac{5 x'}{5} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{5}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x'}{5} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{5}$

Étape 6.4.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{5}$

Étape 7

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{5}$