Algèbre Exemples

$y = \tan^{-1} (\sqrt{x})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \tan^{-1} (x^{\frac{1}{2}})$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\tan^{-1} (x^{\frac{1}{2}}))$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \tan^{-1} (y)$ et $g (y) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan^{-1} (u_{1})] \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\tan^{-1} (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + x^{1}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.3

Simplifiez

$\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 4.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.10

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 4.12

Multipliez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 4.13

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} x'$

Étape 4.14

Associez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$ et $x'$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$

Étape 6

Résolvez $x'$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} = 1$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} = 1$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés par $2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.1

Simplifiez $\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Étape 6.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ .

$2 \frac{x'}{2 (x^{\frac{1}{2}} (1 + x))} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Étape 6.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x'}{2 (x^{\frac{1}{2}} (1 + x))} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Étape 6.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x'}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Étape 6.3.1.1.3

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ .

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Étape 6.3.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x'}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Étape 6.3.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x' = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez $1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Multipliez $2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ par $1$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$

Étape 6.3.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} x$

Étape 6.3.2.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} x$

Étape 6.3.2.1.4

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.2.1.4.1

Déplacez $x$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.2.1.4.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.3.2.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.2.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{1 + \frac{1}{2}}$

Étape 6.3.2.1.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Étape 6.3.2.1.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{2 + 1}{2}}$

Étape 6.3.2.1.4.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

Étape 7

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}$