Algèbre Exemples

$\sin (y) + \cos (x) = 1$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (\sin (y) + \cos (x)) = \frac{d}{d y} (1)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (y) + \cos (x)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [\cos (x)]$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (y)$ par rapport à $y$ est $\cos (y)$ .

$\cos (y) + \frac{d}{d y} [\cos (x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\cos (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \cos (y)$ et $g (y) = x$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$\cos (y) + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x]$

Étape 2.3.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$\cos (y) - \sin (u) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$\cos (y) - \sin (x) \frac{d}{d y} [x]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\cos (y) - \sin (x) x'$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \sin (x) x' + \cos (y)$

Étape 3

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- \sin (x) x' + \cos (y) = 0$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \sin (x) x' + \cos (y)$ .

$- x' \sin (x) + \cos (y) = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $\cos (y)$ des deux côtés de l’équation.

$- x' \sin (x) = - \cos (y)$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- x' \sin (x) = - \cos (y)$ par $- \sin (x)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- x' \sin (x) = - \cos (y)$ par $- \sin (x)$ .

$\frac{- x' \sin (x)}{- \sin (x)} = \frac{- \cos (y)}{- \sin (x)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x' \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{- \cos (y)}{- \sin (x)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{- \cos (y)}{- \sin (x)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{- \cos (y)}{- \sin (x)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x' = \frac{\cos (y)}{\sin (x)}$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez $\frac{\cos (y)}{\sin (x)}$ comme un produit.

$x' = \cos (y) \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 5.3.3.3

Écrivez $\cos (y)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$x' = \frac{\cos (y)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 5.3.3.4

Simplifiez

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Étape 5.3.3.4.1

Divisez $\cos (y)$ par $1$ .

$x' = \cos (y) \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 5.3.3.4.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$x' = \cos (y) \csc (x)$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \cos (y) \csc (x)$