Algèbre Exemples

$x \ln (y) + 5 y = 2 x^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (x \ln (y) + 5 y) = \frac{d}{d y} (2 x^{3})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \ln (y) + 5 y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x \ln (y)] + \frac{d}{d y} [5 y]$ .

$\frac{d}{d y} [x \ln (y)] + \frac{d}{d y} [5 y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [x \ln (y)]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x$ et $g (y) = \ln (y)$ .

$x \frac{d}{d y} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5 y]$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\ln (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{y}$ .

$x \frac{1}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5 y]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x \frac{1}{y} + \ln (y) x' + \frac{d}{d y} [5 y]$

Étape 2.2.4

Associez $x$ et $\frac{1}{y}$ .

$\frac{x}{y} + \ln (y) x' + \frac{d}{d y} [5 y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [5 y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $5 y$ par rapport à $y$ est $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{x}{y} + \ln (y) x' + 5 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{y} + \ln (y) x' + 5 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{x}{y} + \ln (y) x' + 5$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\ln (y) x' + \frac{x}{y} + 5$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{3}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$2 (3 x^{2} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 (x^{2} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$6 x^{2} x'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\ln (y) x' + \frac{x}{y} + 5 = 6 x^{2} x'$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (y) x' + \frac{x}{y} + 5$ .

$x' \ln (y) + \frac{x}{y} + 5 = 6 x^{2} x'$

Étape 5.2

Soustrayez $6 x^{2} x'$ des deux côtés de l’équation.

$x' \ln (y) + \frac{x}{y} + 5 - 6 x^{2} x' = 0$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.1

Soustrayez $\frac{x}{y}$ des deux côtés de l’équation.

$x' \ln (y) + 5 - 6 x^{2} x' = - \frac{x}{y}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x' \ln (y) - 6 x^{2} x' = - \frac{x}{y} - 5$

Étape 5.4

Factorisez $x'$ à partir de $x' \ln (y) - 6 x^{2} x'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $x'$ à partir de $x' \ln (y)$ .

$x' (\ln (y)) - 6 x^{2} x' = - \frac{x}{y} - 5$

Étape 5.4.2

Factorisez $x'$ à partir de $- 6 x^{2} x'$ .

$x' (\ln (y)) + x' (- 6 x^{2}) = - \frac{x}{y} - 5$

Étape 5.4.3

Factorisez $x'$ à partir de $x' (\ln (y)) + x' (- 6 x^{2})$ .

$x' (\ln (y) - 6 x^{2}) = - \frac{x}{y} - 5$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $x' (\ln (y) - 6 x^{2}) = - \frac{x}{y} - 5$ par $\ln (y) - 6 x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $x' (\ln (y) - 6 x^{2}) = - \frac{x}{y} - 5$ par $\ln (y) - 6 x^{2}$ .

$\frac{x' (\ln (y) - 6 x^{2})}{\ln (y) - 6 x^{2}} = \frac{- \frac{x}{y}}{\ln (y) - 6 x^{2}} + \frac{- 5}{\ln (y) - 6 x^{2}}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (y) - 6 x^{2}$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (\ln (y) - 6 x^{2})}{\ln (y) - 6 x^{2}} = \frac{- \frac{x}{y}}{\ln (y) - 6 x^{2}} + \frac{- 5}{\ln (y) - 6 x^{2}}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{- \frac{x}{y}}{\ln (y) - 6 x^{2}} + \frac{- 5}{\ln (y) - 6 x^{2}}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{- \frac{x}{y} - 5}{\ln (y) - 6 x^{2}}$

Étape 5.5.3.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $y$ .

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Étape 5.5.3.2.1

Multipliez $\frac{- \frac{x}{y} - 5}{\ln (y) - 6 x^{2}}$ par $\frac{y}{y}$ .

$x' = \frac{y}{y} \cdot \frac{- \frac{x}{y} - 5}{\ln (y) - 6 x^{2}}$

Étape 5.5.3.2.2

Associez.

$x' = \frac{y (- \frac{x}{y} - 5)}{y (\ln (y) - 6 x^{2})}$

Étape 5.5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$x' = \frac{y (- \frac{x}{y}) + y \cdot - 5}{y \ln (y) + y (- 6 x^{2})}$

Étape 5.5.3.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.5.3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{y}$ dans le numérateur.

$x' = \frac{y \frac{- x}{y} + y \cdot - 5}{y \ln (y) + y (- 6 x^{2})}$

Étape 5.5.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{y \frac{- x}{y} + y \cdot - 5}{y \ln (y) + y (- 6 x^{2})}$

Étape 5.5.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{- x + y \cdot - 5}{y \ln (y) + y (- 6 x^{2})}$

Étape 5.5.3.5

Déplacez $- 5$ à gauche de $y$ .

$x' = \frac{- x - 5 y}{y \ln (y) + y (- 6 x^{2})}$

Étape 5.5.3.6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.5.3.6.1

Factorisez $y$ à partir de $y \ln (y) + y (- 6 x^{2})$ .

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Étape 5.5.3.6.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y \ln (y)$ .

$x' = \frac{- x - 5 y}{y (\ln (y)) + y (- 6 x^{2})}$

Étape 5.5.3.6.1.2

Factorisez $y$ à partir de $y (\ln (y)) + y (- 6 x^{2})$ .

$x' = \frac{- x - 5 y}{y (\ln (y) - 6 x^{2})}$

Étape 5.5.3.6.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$x' = \frac{- (x) - 5 y}{y (\ln (y) - 6 x^{2})}$

Étape 5.5.3.6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 y$ .

$x' = \frac{- (x) - (5 y)}{y (\ln (y) - 6 x^{2})}$

Étape 5.5.3.6.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - (5 y)$ .

$x' = \frac{- (x + 5 y)}{y (\ln (y) - 6 x^{2})}$

Étape 5.5.3.6.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.5.3.6.5.1

Réécrivez $- (x + 5 y)$ comme $- 1 (x + 5 y)$ .

$x' = \frac{- 1 (x + 5 y)}{y (\ln (y) - 6 x^{2})}$

Étape 5.5.3.6.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{x + 5 y}{y (\ln (y) - 6 x^{2})}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x + 5 y}{y (\ln (y) - 6 x^{2})}$