Algèbre Exemples

$y = {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ({(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}})$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{\frac{3}{2}}$ et $g (y) = 10 x^{3} + 7$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $10 x^{3} + 7$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $10 x^{3} + 7$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Étape 3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Étape 3.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Étape 3.5.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Étape 3.6

Différenciez.

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Étape 3.6.1

Associez $\frac{3}{2}$ et ${(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Étape 3.6.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 x^{3} + 7$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [10 x^{3}] + \frac{d}{d y} [7]$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d y} [10 x^{3}] + \frac{d}{d y} [7])$

Étape 3.6.3

Comme $10$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $10 x^{3}$ par rapport à $y$ est $10 \frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [7])$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{3}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [7])$

Étape 3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [7])$

Étape 3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 (3 x^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [7])$

Étape 3.8

Multipliez $3$ par $10$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 (x^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [7])$

Étape 3.9

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2} x' + \frac{d}{d y} [7])$

Étape 3.10

Comme $7$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $7$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2} x' + 0)$

Étape 3.11

Simplifiez les termes.

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Étape 3.11.1

Additionnez $30 x^{2} x'$ et $0$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2} x')$

Étape 3.11.2

Associez $30$ et $\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{30 (3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2} (x^{2} x')$

Étape 3.11.3

Multipliez $3$ par $30$ .

$\frac{90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (x^{2} x')$

Étape 3.11.4

Associez $x^{2}$ et $\frac{90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{2} (90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2} x'$

Étape 3.11.5

Associez $\frac{x^{2} (90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2}$ et $x'$ .

$\frac{x^{2} (90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2}$

Étape 3.11.6

Factorisez $2$ à partir de $x^{2} (90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'$ .

$\frac{2 (x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x')}{2}$

Étape 3.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x')}{2 (1)}$

Étape 3.12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x')}{2 \cdot 1}$

Étape 3.12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'}{1}$

Étape 3.12.4

Divisez $x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'$ par $1$ .

$x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'$

Étape 3.13

Réorganisez les facteurs de $x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'$ .

$45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = 45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ .

$45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x' = 1$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ par $45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ par $45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{{(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2.2.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{{(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2.2.6

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$