Algèbre Exemples

$z = (u^{3} - v^{3}) e^{(u^{3} + v^{3})}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d u} (z) = \frac{d}{d u} ((u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}})$

Étape 2

La dérivée de $z$ par rapport à $u$ est $z'$ .

$z'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ est $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ où $f (u) = u^{3} - {z'}^{3}$ et $g (u) = e^{u^{3} + {z'}^{3}}$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) \frac{d}{d u} [e^{u^{3} + {z'}^{3}}] + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ est $f' (g (u)) g' (u)$ où $f (u) = e^{u}$ et $g (u) = u^{3} + {z'}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $u^{3} + {z'}^{3}$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d u} [u^{3} + {z'}^{3}]) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d u} [u^{3} + {z'}^{3}]) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $u^{3} + {z'}^{3}$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) (e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} + {z'}^{3}]) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

Étape 3.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $u^{3} + {z'}^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{d}{d u} [u^{3}] + \frac{d}{d u} [{z'}^{3}]$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (\frac{d}{d u} [u^{3}] + \frac{d}{d u} [{z'}^{3}]) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2} + \frac{d}{d u} [{z'}^{3}]) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

Étape 3.3.3

Comme ${z'}^{3}$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de ${z'}^{3}$ par rapport à $u$ est $0$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2} + 0) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

Étape 3.3.4

Additionnez $3 u^{2}$ et $0$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2}) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

Étape 3.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $u^{3} - {z'}^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{d}{d u} [u^{3}] + \frac{d}{d u} [- {z'}^{3}]$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2}) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} (\frac{d}{d u} [u^{3}] + \frac{d}{d u} [- {z'}^{3}])$

Étape 3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2}) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2} + \frac{d}{d u} [- {z'}^{3}])$

Étape 3.3.7

Comme $- {z'}^{3}$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $- {z'}^{3}$ par rapport à $u$ est $0$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2}) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2} + 0)$

Étape 3.3.8

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.8.1

Additionnez $3 u^{2}$ et $0$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2}) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2})$

Étape 3.3.8.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} (u^{3} - {z'}^{3}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$z' = 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} (u^{3} - {z'}^{3}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$z' = 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} u^{3} + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} (- {z'}^{3}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

Étape 5.1.2

Multipliez $u^{2}$ par $u^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1

Déplacez $u^{3}$ .

$z' = 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} (u^{3} u^{2}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} (- {z'}^{3}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

Étape 5.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$z' = 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{3 + 2} + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} (- {z'}^{3}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

Étape 5.1.2.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$z' = 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{5} + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} (- {z'}^{3}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

Étape 5.1.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$z' = 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{5} - 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} {z'}^{3} + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

Étape 5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{5} - 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} {z'}^{3} + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$ .

$z' = 3 u^{5} e^{u^{3} + {z'}^{3}} - 3 u^{2} e^{u^{3} + {z'}^{3}} {z'}^{3} + 3 u^{2} e^{u^{3} + {z'}^{3}}$

Étape 6

Remplacez $z'$ par $\frac{d z}{d u}$ .

$\frac{d z}{d u} = 3 u^{5} e^{u^{3} + {z'}^{3}} - 3 u^{2} e^{u^{3} + {z'}^{3}} {z'}^{3} + 3 u^{2} e^{u^{3} + {z'}^{3}}$