Algèbre Exemples

$\frac{(1 - \tan^{2} (x))}{2 \tan (x)} = \frac{1}{\tan (2 x)}$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$\frac{1}{\tan (2 x)}$

Étape 2

Appliquez l’identité d’angle double de la tangente.

$\frac{1}{\frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}}$

Étape 3

Convertissez en sinus et cosinus.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{1}{\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \tan^{2} (x)}}$

Étape 3.2

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{1}{\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}}$

Étape 3.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ par $1$ .

$\frac{1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 4.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 4.3.2

Réécrivez $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ comme ${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 4.3.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 4.3.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{(\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 4.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 4.3.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} (\frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 4.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 4.4

Associez $2$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 4.5

Multipliez $\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) \cos (x)}}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 4.6

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 4.6.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 4.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1 + 1}}}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 4.6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2}}}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 4.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$

Étape 4.8

Associez.

$\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) \cos (x)}{{\cos (x)}^{2} (2 \sin (x))}$

Étape 4.9

Annulez le facteur commun à $\cos (x)$ et ${\cos (x)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.9.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} (2 \sin (x))}$

Étape 4.9.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.9.2.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de ${\cos (x)}^{2} (2 \sin (x))$ .

$\frac{\cos (x) ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)))}{\cos (x) (\cos (x) (2 \sin (x)))}$

Étape 4.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)))}{\cos (x) (\cos (x) (2 \sin (x)))}$

Étape 4.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) (2 \sin (x))}$

Étape 4.10

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (x)$ .

$\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{2 \cos (x) \sin (x)}$

Étape 5

Réécrivez $\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{2 \cos (x) \sin (x)}$ comme $\frac{(1 - \tan^{2} (x))}{2 \tan (x)}$ .

$\frac{(1 - \tan^{2} (x))}{2 \tan (x)}$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{2 \tan (x)} = \frac{1}{\tan (2 x)}$ est une identité