Algèbre Exemples

$\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{3 y - 9}{- 9 y + 7}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{3 y - 9}{- 9 y + 7} = x$ .

$\frac{3 y - 9}{- 9 y + 7} = x$

Étape 2.2

Factorisez $3$ à partir de $3 y - 9$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 y$ .

$\frac{3 (y) - 9}{- 9 y + 7} = x$

Étape 2.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$\frac{3 y + 3 \cdot - 3}{- 9 y + 7} = x$

Étape 2.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 y + 3 \cdot - 3$ .

$\frac{3 (y - 3)}{- 9 y + 7} = x$

Étape 2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$- 9 y + 7, 1$

Étape 2.3.2

Supprimez les parenthèses.

$- 9 y + 7, 1$

Étape 2.3.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$- 9 y + 7$

Étape 2.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{3 (y - 3)}{- 9 y + 7} = x$ par $- 9 y + 7$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{3 (y - 3)}{- 9 y + 7} = x$ par $- 9 y + 7$ .

$\frac{3 (y - 3)}{- 9 y + 7} (- 9 y + 7) = x (- 9 y + 7)$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $\frac{3 (y - 3)}{- 9 y + 7}$ par $- 9 y + 7$ .

$\frac{3 (y - 3) (- 9 y + 7)}{- 9 y + 7} = x (- 9 y + 7)$

Étape 2.4.2.2

Annulez le facteur commun de $- 9 y + 7$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (y - 3) (- 9 y + 7)}{- 9 y + 7} = x (- 9 y + 7)$

Étape 2.4.2.2.2

Divisez $3 (y - 3)$ par $1$ .

$3 (y - 3) = x (- 9 y + 7)$

Étape 2.4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 y + 3 \cdot - 3 = x (- 9 y + 7)$

Étape 2.4.2.4

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$3 y - 9 = x (- 9 y + 7)$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 y - 9 = x (- 9 y) + x \cdot 7$

Étape 2.4.3.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.4.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 y - 9 = - 9 x y + x \cdot 7$

Étape 2.4.3.2.2

Déplacez $7$ à gauche de $x$ .

$3 y - 9 = - 9 x y + 7 x$

Étape 2.5

Résolvez l’équation.

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Étape 2.5.1

Ajoutez $9 x y$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y - 9 + 9 x y = 7 x$

Étape 2.5.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y + 9 x y = 7 x + 9$

Étape 2.5.3

Factorisez $3 y$ à partir de $3 y + 9 x y$ .

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Étape 2.5.3.1

Factorisez $3 y$ à partir de $3 y$ .

$3 y (1) + 9 x y = 7 x + 9$

Étape 2.5.3.2

Factorisez $3 y$ à partir de $9 x y$ .

$3 y (1) + 3 y (3 x) = 7 x + 9$

Étape 2.5.3.3

Factorisez $3 y$ à partir de $3 y (1) + 3 y (3 x)$ .

$3 y (1 + 3 x) = 7 x + 9$

Étape 2.5.4

Divisez chaque terme dans $3 y (1 + 3 x) = 7 x + 9$ par $3 (1 + 3 x)$ et simplifiez.

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Étape 2.5.4.1

Divisez chaque terme dans $3 y (1 + 3 x) = 7 x + 9$ par $3 (1 + 3 x)$ .

$\frac{3 y (1 + 3 x)}{3 (1 + 3 x)} = \frac{7 x}{3 (1 + 3 x)} + \frac{9}{3 (1 + 3 x)}$

Étape 2.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y (1 + 3 x)}{3 (1 + 3 x)} = \frac{7 x}{3 (1 + 3 x)} + \frac{9}{3 (1 + 3 x)}$

Étape 2.5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y (1 + 3 x)}{1 + 3 x} = \frac{7 x}{3 (1 + 3 x)} + \frac{9}{3 (1 + 3 x)}$

Étape 2.5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $1 + 3 x$ .

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Étape 2.5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (1 + 3 x)}{1 + 3 x} = \frac{7 x}{3 (1 + 3 x)} + \frac{9}{3 (1 + 3 x)}$

Étape 2.5.4.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{7 x}{3 (1 + 3 x)} + \frac{9}{3 (1 + 3 x)}$

Étape 2.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.4.3.1

Annulez le facteur commun à $9$ et $3$ .

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Étape 2.5.4.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$y = \frac{7 x}{3 (1 + 3 x)} + \frac{3 \cdot 3}{3 (1 + 3 x)}$

Étape 2.5.4.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.4.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{7 x}{3 (1 + 3 x)} + \frac{3 \cdot 3}{3 (1 + 3 x)}$

Étape 2.5.4.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{7 x}{3 (1 + 3 x)} + \frac{3}{1 + 3 x}$

Étape 2.5.4.3.2

Pour écrire $\frac{3}{1 + 3 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{7 x}{3 (1 + 3 x)} + \frac{3}{1 + 3 x} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 2.5.4.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3 (1 + 3 x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.5.4.3.3.1

Multipliez $\frac{3}{1 + 3 x}$ par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{7 x}{3 (1 + 3 x)} + \frac{3 \cdot 3}{(1 + 3 x) \cdot 3}$

Étape 2.5.4.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(1 + 3 x) \cdot 3$ .

$y = \frac{7 x}{3 (1 + 3 x)} + \frac{3 \cdot 3}{3 (1 + 3 x)}$

Étape 2.5.4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{7 x + 3 \cdot 3}{3 (1 + 3 x)}$

Étape 2.5.4.3.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = \frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{7 (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) + 9}{3 (1 + 3 (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}))}$

Étape 4.2.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x - 9$ .

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Étape 4.2.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{7 (\frac{3 (x) - 9}{- 9 x + 7}) + 9}{3 (1 + 3 (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}))}$

Étape 4.2.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{7 (\frac{3 x + 3 \cdot - 3}{- 9 x + 7}) + 9}{3 (1 + 3 (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}))}$

Étape 4.2.3.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3 \cdot - 3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{7 (\frac{3 (x - 3)}{- 9 x + 7}) + 9}{3 (1 + 3 (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}))}$

Étape 4.2.3.2

Factorisez $3$ à partir de $3 x - 9$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{7 (\frac{3 (x - 3)}{- 9 x + 7}) + 9}{3 (1 + 3 (\frac{3 (x) - 9}{- 9 x + 7}))}$

Étape 4.2.3.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{7 (\frac{3 (x - 3)}{- 9 x + 7}) + 9}{3 (1 + 3 (\frac{3 x + 3 \cdot - 3}{- 9 x + 7}))}$

Étape 4.2.3.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3 \cdot - 3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{7 (\frac{3 (x - 3)}{- 9 x + 7}) + 9}{3 (1 + 3 (\frac{3 (x - 3)}{- 9 x + 7}))}$

Étape 4.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.4.1

Multipliez $7 \frac{3 (x - 3)}{- 9 x + 7}$ .

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Étape 4.2.4.1.1

Associez $7$ et $\frac{3 (x - 3)}{- 9 x + 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{\frac{7 (3 (x - 3))}{- 9 x + 7} + 9}{3 (1 + 3 (\frac{3 (x - 3)}{- 9 x + 7}))}$

Étape 4.2.4.1.2

Multipliez $3$ par $7$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{\frac{21 (x - 3)}{- 9 x + 7} + 9}{3 (1 + 3 (\frac{3 (x - 3)}{- 9 x + 7}))}$

Étape 4.2.4.2

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{- 9 x + 7}{- 9 x + 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{\frac{21 (x - 3)}{- 9 x + 7} + \frac{9 (- 9 x + 7)}{- 9 x + 7}}{3 (1 + 3 (\frac{3 (x - 3)}{- 9 x + 7}))}$

Étape 4.2.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{\frac{21 (x - 3) + 9 (- 9 x + 7)}{- 9 x + 7}}{3 (1 + 3 (\frac{3 (x - 3)}{- 9 x + 7}))}$

Étape 4.2.4.4

Réécrivez $\frac{21 (x - 3) + 9 (- 9 x + 7)}{- 9 x + 7}$ en forme factorisée.

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Étape 4.2.4.4.1

Factorisez $3$ à partir de $21 (x - 3) + 9 (- 9 x + 7)$ .

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Étape 4.2.4.4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $21 (x - 3)$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{\frac{3 (7 (x - 3)) + 9 (- 9 x + 7)}{- 9 x + 7}}{3 (1 + 3 (\frac{3 (x - 3)}{- 9 x + 7}))}$

Étape 4.2.4.4.1.2

Factorisez $3$ à partir de $9 (- 9 x + 7)$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{\frac{3 (7 (x - 3)) + 3 (3 (- 9 x + 7))}{- 9 x + 7}}{3 (1 + 3 (\frac{3 (x - 3)}{- 9 x + 7}))}$

Étape 4.2.4.4.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (7 (x - 3)) + 3 (3 (- 9 x + 7))$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{\frac{3 (7 (x - 3) + 3 (- 9 x + 7))}{- 9 x + 7}}{3 (1 + 3 (\frac{3 (x - 3)}{- 9 x + 7}))}$

Étape 4.2.4.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{\frac{3 (7 x + 7 \cdot - 3 + 3 (- 9 x + 7))}{- 9 x + 7}}{3 (1 + 3 (\frac{3 (x - 3)}{- 9 x + 7}))}$

Étape 4.2.4.4.3

Multipliez $7$ par $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{\frac{3 (7 x - 21 + 3 (- 9 x + 7))}{- 9 x + 7}}{3 (1 + 3 (\frac{3 (x - 3)}{- 9 x + 7}))}$

Étape 4.2.4.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{\frac{3 (7 x - 21 + 3 (- 9 x) + 3 \cdot 7)}{- 9 x + 7}}{3 (1 + 3 (\frac{3 (x - 3)}{- 9 x + 7}))}$

Étape 4.2.4.4.5

Multipliez $- 9$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{\frac{3 (7 x - 21 - 27 x + 3 \cdot 7)}{- 9 x + 7}}{3 (1 + 3 (\frac{3 (x - 3)}{- 9 x + 7}))}$

Étape 4.2.4.4.6

Multipliez $3$ par $7$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{\frac{3 (7 x - 21 - 27 x + 21)}{- 9 x + 7}}{3 (1 + 3 (\frac{3 (x - 3)}{- 9 x + 7}))}$

Étape 4.2.4.4.7

Soustrayez $27 x$ de $7 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{\frac{3 (- 20 x - 21 + 21)}{- 9 x + 7}}{3 (1 + 3 (\frac{3 (x - 3)}{- 9 x + 7}))}$

Étape 4.2.4.4.8

Additionnez $- 21$ et $21$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{\frac{3 (- 20 x + 0)}{- 9 x + 7}}{3 (1 + 3 (\frac{3 (x - 3)}{- 9 x + 7}))}$

Étape 4.2.4.4.9

Additionnez $- 20 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{\frac{3 \cdot (- 20 x)}{- 9 x + 7}}{3 (1 + 3 (\frac{3 (x - 3)}{- 9 x + 7}))}$

Étape 4.2.4.4.10

Multipliez $3$ par $- 20$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{\frac{- 60 x}{- 9 x + 7}}{3 (1 + 3 (\frac{3 (x - 3)}{- 9 x + 7}))}$

Étape 4.2.4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{- \frac{60 x}{- 9 x + 7}}{3 (1 + 3 (\frac{3 (x - 3)}{- 9 x + 7}))}$

Étape 4.2.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.5.1

Multipliez $3 \frac{3 (x - 3)}{- 9 x + 7}$ .

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Étape 4.2.5.1.1

Associez $3$ et $\frac{3 (x - 3)}{- 9 x + 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{- \frac{60 x}{- 9 x + 7}}{3 (1 + \frac{3 (3 (x - 3))}{- 9 x + 7})}$

Étape 4.2.5.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{- \frac{60 x}{- 9 x + 7}}{3 (1 + \frac{9 (x - 3)}{- 9 x + 7})}$

Étape 4.2.5.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{- \frac{60 x}{- 9 x + 7}}{3 (\frac{- 9 x + 7}{- 9 x + 7} + \frac{9 (x - 3)}{- 9 x + 7})}$

Étape 4.2.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{- \frac{60 x}{- 9 x + 7}}{3 (\frac{- 9 x + 7 + 9 (x - 3)}{- 9 x + 7})}$

Étape 4.2.5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{- \frac{60 x}{- 9 x + 7}}{3 (\frac{- 9 x + 9 (x - 3) + 7}{- 9 x + 7})}$

Étape 4.2.5.5

Réécrivez $\frac{- 9 x + 9 (x - 3) + 7}{- 9 x + 7}$ en forme factorisée.

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Étape 4.2.5.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{- \frac{60 x}{- 9 x + 7}}{3 (\frac{- 9 x + 9 x + 9 \cdot - 3 + 7}{- 9 x + 7})}$

Étape 4.2.5.5.2

Multipliez $9$ par $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{- \frac{60 x}{- 9 x + 7}}{3 (\frac{- 9 x + 9 x - 27 + 7}{- 9 x + 7})}$

Étape 4.2.5.5.3

Additionnez $- 9 x$ et $9 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{- \frac{60 x}{- 9 x + 7}}{3 (\frac{0 - 27 + 7}{- 9 x + 7})}$

Étape 4.2.5.5.4

Soustrayez $27$ de $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{- \frac{60 x}{- 9 x + 7}}{3 (\frac{- 27 + 7}{- 9 x + 7})}$

Étape 4.2.5.5.5

Additionnez $- 27$ et $7$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{- \frac{60 x}{- 9 x + 7}}{3 (\frac{- 20}{- 9 x + 7})}$

Étape 4.2.5.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{- \frac{60 x}{- 9 x + 7}}{3 \cdot (- 1 \frac{20}{- 9 x + 7})}$

Étape 4.2.5.7

Associez les exposants.

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Étape 4.2.5.7.1

Factorisez le signe négatif.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{- \frac{60 x}{- 9 x + 7}}{- (3 (\frac{20}{- 9 x + 7}))}$

Étape 4.2.5.7.2

Associez $3$ et $\frac{20}{- 9 x + 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{- \frac{60 x}{- 9 x + 7}}{- \frac{3 \cdot 20}{- 9 x + 7}}$

Étape 4.2.5.7.3

Multipliez $3$ par $20$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{- \frac{60 x}{- 9 x + 7}}{- \frac{60}{- 9 x + 7}}$

Étape 4.2.6

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{\frac{60 x}{- 9 x + 7}}{\frac{60}{- 9 x + 7}}$

Étape 4.2.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{60 x}{- 9 x + 7} \cdot \frac{- 9 x + 7}{60}$

Étape 4.2.8

Annulez le facteur commun de $60$ .

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Étape 4.2.8.1

Factorisez $60$ à partir de $60 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{60 (x)}{- 9 x + 7} \cdot \frac{- 9 x + 7}{60}$

Étape 4.2.8.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{60 x}{- 9 x + 7} \cdot \frac{- 9 x + 7}{60}$

Étape 4.2.8.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{x}{- 9 x + 7} \cdot (- 9 x + 7)$

Étape 4.2.9

Multipliez $\frac{x}{- 9 x + 7}$ par $- 9 x + 7$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{x (- 9 x + 7)}{- 9 x + 7}$

Étape 4.2.10

Annulez le facteur commun de $- 9 x + 7$ .

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Étape 4.2.10.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = \frac{x (- 9 x + 7)}{- 9 x + 7}$

Étape 4.2.10.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{3 (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) - 9}{- 9 \frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)} + 7}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)} - 9$ .

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Étape 4.3.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}$ .

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{3 (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) - 9}{- 9 \frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)} + 7}$

Étape 4.3.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{3 (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) + 3 \cdot - 3}{- 9 \frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)} + 7}$

Étape 4.3.3.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 \frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)} + 3 \cdot - 3$ .

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{3 (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)} - 3)}{- 9 \frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)} + 7}$

Étape 4.3.3.2

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 (1 + 3 x)}{3 (1 + 3 x)}$ .

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{3 (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)} - 3 \cdot \frac{3 (1 + 3 x)}{3 (1 + 3 x)})}{- 9 \frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)} + 7}$

Étape 4.3.3.3

Associez $- 3$ et $\frac{3 (1 + 3 x)}{3 (1 + 3 x)}$ .

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{3 (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)} + \frac{- 3 (3 (1 + 3 x))}{3 (1 + 3 x)})}{- 9 \frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)} + 7}$

Étape 4.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{3 (\frac{7 x + 9 - 3 (3 (1 + 3 x))}{3 (1 + 3 x)})}{- 9 \frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)} + 7}$

Étape 4.3.3.5

Réécrivez $\frac{7 x + 9 - 3 (3 (1 + 3 x))}{3 (1 + 3 x)}$ en forme factorisée.

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Étape 4.3.3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{3 (\frac{7 x + 9 - 3 (3 \cdot 1 + 3 (3 x))}{3 (1 + 3 x)})}{- 9 \frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)} + 7}$

Étape 4.3.3.5.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{3 (\frac{7 x + 9 - 3 (3 + 3 (3 x))}{3 (1 + 3 x)})}{- 9 \frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)} + 7}$

Étape 4.3.3.5.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{3 (\frac{7 x + 9 - 3 (3 + 9 x)}{3 (1 + 3 x)})}{- 9 \frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)} + 7}$

Étape 4.3.3.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{3 (\frac{7 x + 9 - 3 \cdot 3 - 3 (9 x)}{3 (1 + 3 x)})}{- 9 \frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)} + 7}$

Étape 4.3.3.5.5

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{3 (\frac{7 x + 9 - 9 - 3 (9 x)}{3 (1 + 3 x)})}{- 9 \frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)} + 7}$

Étape 4.3.3.5.6

Multipliez $9$ par $- 3$ .

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{3 (\frac{7 x + 9 - 9 - 27 x}{3 (1 + 3 x)})}{- 9 \frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)} + 7}$

Étape 4.3.3.5.7

Soustrayez $27 x$ de $7 x$ .

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{3 (\frac{- 20 x + 9 - 9}{3 (1 + 3 x)})}{- 9 \frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)} + 7}$

Étape 4.3.3.5.8

Soustrayez $9$ de $9$ .

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{3 (\frac{- 20 x + 0}{3 (1 + 3 x)})}{- 9 \frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)} + 7}$

Étape 4.3.3.5.9

Additionnez $- 20 x$ et $0$ .

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{3 (\frac{- 20 x}{3 (1 + 3 x)})}{- 9 \frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)} + 7}$

Étape 4.3.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{3 \cdot (- 1 \frac{20 x}{3 (1 + 3 x)})}{- 9 \frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)} + 7}$

Étape 4.3.3.7

Associez les exposants.

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Étape 4.3.3.7.1

Factorisez le signe négatif.

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{- (3 (\frac{20 x}{3 (1 + 3 x)}))}{- 9 \frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)} + 7}$

Étape 4.3.3.7.2

Associez $3$ et $\frac{20 x}{3 (1 + 3 x)}$ .

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{- \frac{3 (20 x)}{3 (1 + 3 x)}}{- 9 \frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)} + 7}$

Étape 4.3.3.7.3

Multipliez $20$ par $3$ .

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{- \frac{60 x}{3 (1 + 3 x)}}{- 9 \frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)} + 7}$

Étape 4.3.3.8

Réduisez l’expression $\frac{60 x}{3 (1 + 3 x)}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.8.1

Factorisez $3$ à partir de $60 x$ .

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{- \frac{3 (20 x)}{3 (1 + 3 x)}}{- 9 \frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)} + 7}$

Étape 4.3.3.8.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{- \frac{3 (20 x)}{3 (1 + 3 x)}}{- 9 \frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)} + 7}$

Étape 4.3.3.8.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{- \frac{20 x}{1 + 3 x}}{- 9 \frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)} + 7}$

Étape 4.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{- \frac{20 x}{1 + 3 x}}{3 (- 3) (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) + 7}$

Étape 4.3.4.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{- \frac{20 x}{1 + 3 x}}{3 \cdot (- 3 \frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) + 7}$

Étape 4.3.4.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{- \frac{20 x}{1 + 3 x}}{- 3 \frac{7 x + 9}{1 + 3 x} + 7}$

Étape 4.3.4.2

Associez $- 3$ et $\frac{7 x + 9}{1 + 3 x}$ .

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{- \frac{20 x}{1 + 3 x}}{\frac{- 3 (7 x + 9)}{1 + 3 x} + 7}$

Étape 4.3.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{- \frac{20 x}{1 + 3 x}}{- \frac{3 (7 x + 9)}{1 + 3 x} + 7}$

Étape 4.3.4.4

Pour écrire $7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + 3 x}{1 + 3 x}$ .

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{- \frac{20 x}{1 + 3 x}}{- \frac{3 (7 x + 9)}{1 + 3 x} + \frac{7 (1 + 3 x)}{1 + 3 x}}$

Étape 4.3.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{- \frac{20 x}{1 + 3 x}}{\frac{- 3 (7 x + 9) + 7 (1 + 3 x)}{1 + 3 x}}$

Étape 4.3.4.6

Réécrivez $\frac{- 3 (7 x + 9) + 7 (1 + 3 x)}{1 + 3 x}$ en forme factorisée.

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Étape 4.3.4.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{- \frac{20 x}{1 + 3 x}}{\frac{- 3 (7 x) - 3 \cdot 9 + 7 (1 + 3 x)}{1 + 3 x}}$

Étape 4.3.4.6.2

Multipliez $7$ par $- 3$ .

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{- \frac{20 x}{1 + 3 x}}{\frac{- 21 x - 3 \cdot 9 + 7 (1 + 3 x)}{1 + 3 x}}$

Étape 4.3.4.6.3

Multipliez $- 3$ par $9$ .

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{- \frac{20 x}{1 + 3 x}}{\frac{- 21 x - 27 + 7 (1 + 3 x)}{1 + 3 x}}$

Étape 4.3.4.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{- \frac{20 x}{1 + 3 x}}{\frac{- 21 x - 27 + 7 \cdot 1 + 7 (3 x)}{1 + 3 x}}$

Étape 4.3.4.6.5

Multipliez $7$ par $1$ .

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{- \frac{20 x}{1 + 3 x}}{\frac{- 21 x - 27 + 7 + 7 (3 x)}{1 + 3 x}}$

Étape 4.3.4.6.6

Multipliez $3$ par $7$ .

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{- \frac{20 x}{1 + 3 x}}{\frac{- 21 x - 27 + 7 + 21 x}{1 + 3 x}}$

Étape 4.3.4.6.7

Additionnez $- 21 x$ et $21 x$ .

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{- \frac{20 x}{1 + 3 x}}{\frac{0 - 27 + 7}{1 + 3 x}}$

Étape 4.3.4.6.8

Soustrayez $27$ de $0$ .

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{- \frac{20 x}{1 + 3 x}}{\frac{- 27 + 7}{1 + 3 x}}$

Étape 4.3.4.6.9

Additionnez $- 27$ et $7$ .

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{- \frac{20 x}{1 + 3 x}}{\frac{- 20}{1 + 3 x}}$

Étape 4.3.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{- \frac{20 x}{1 + 3 x}}{- \frac{20}{1 + 3 x}}$

Étape 4.3.5

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{\frac{20 x}{1 + 3 x}}{\frac{20}{1 + 3 x}}$

Étape 4.3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{20 x}{1 + 3 x} \cdot \frac{1 + 3 x}{20}$

Étape 4.3.7

Annulez le facteur commun de $20$ .

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Étape 4.3.7.1

Factorisez $20$ à partir de $20 x$ .

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{20 (x)}{1 + 3 x} \cdot \frac{1 + 3 x}{20}$

Étape 4.3.7.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{20 x}{1 + 3 x} \cdot \frac{1 + 3 x}{20}$

Étape 4.3.7.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{x}{1 + 3 x} \cdot (1 + 3 x)$

Étape 4.3.8

Annulez le facteur commun de $1 + 3 x$ .

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Étape 4.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = \frac{x}{1 + 3 x} \cdot (1 + 3 x)$

Étape 4.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{3 x - 9}{- 9 x + 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x + 9}{3 (1 + 3 x)}$