Algèbre Exemples

$\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{5 y + 8}{- 3 y - 1}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Multipliez l’équation par $- 3 y - 1$ .

$(- 3 y - 1) (x) = (\frac{5 y + 8}{- 3 y - 1}) (- 3 y - 1)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $(- 3 y - 1) (x)$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 y x - 1 x = (\frac{5 y + 8}{- 3 y - 1}) (- 3 y - 1)$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$- 3 y x - x = (\frac{5 y + 8}{- 3 y - 1}) (- 3 y - 1)$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez $(\frac{5 y + 8}{- 3 y - 1}) (- 3 y - 1)$ .

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $\frac{5 y + 8}{- 3 y - 1}$ par $- 3 y - 1$ .

$- 3 y x - x = \frac{(5 y + 8) (- 3 y - 1)}{- 3 y - 1}$

Étape 2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $- 3 y - 1$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$- 3 y x - x = \frac{(5 y + 8) (- 3 y - 1)}{- 3 y - 1}$

Étape 2.3.1.2.2

Divisez $5 y + 8$ par $1$ .

$- 3 y x - x = 5 y + 8$

Étape 2.4

Résolvez $y$ .

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Étape 2.4.1

Soustrayez $5 y$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 y x - x - 5 y = 8$

Étape 2.4.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3 y x - 5 y = 8 + x$

Étape 2.4.3

Factorisez $y$ à partir de $- 3 y x - 5 y$ .

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Étape 2.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $- 3 y x$ .

$y (- 3 x) - 5 y = 8 + x$

Étape 2.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- 5 y$ .

$y (- 3 x) + y \cdot - 5 = 8 + x$

Étape 2.4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- 3 x) + y \cdot - 5$ .

$y (- 3 x - 5) = 8 + x$

Étape 2.4.4

Divisez chaque terme dans $y (- 3 x - 5) = 8 + x$ par $- 3 x - 5$ et simplifiez.

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Étape 2.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y (- 3 x - 5) = 8 + x$ par $- 3 x - 5$ .

$\frac{y (- 3 x - 5)}{- 3 x - 5} = \frac{8}{- 3 x - 5} + \frac{x}{- 3 x - 5}$

Étape 2.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3 x - 5$ .

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Étape 2.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (- 3 x - 5)}{- 3 x - 5} = \frac{8}{- 3 x - 5} + \frac{x}{- 3 x - 5}$

Étape 2.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{8}{- 3 x - 5} + \frac{x}{- 3 x - 5}$

Étape 2.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{8 + x}{- 3 x - 5}$

Étape 2.4.4.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x$ .

$y = \frac{8 + x}{- (3 x) - 5}$

Étape 2.4.4.3.3

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$y = \frac{8 + x}{- (3 x) - 1 (5)}$

Étape 2.4.4.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x) - 1 (5)$ .

$y = \frac{8 + x}{- (3 x + 5)}$

Étape 2.4.4.3.5

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 2.4.4.3.5.1

Réécrivez $- (3 x + 5)$ comme $- 1 (3 x + 5)$ .

$y = \frac{8 + x}{- 1 (3 x + 5)}$

Étape 2.4.4.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{8 + x}{3 x + 5}$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = - \frac{8 + x}{3 x + 5}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{8 + x}{3 x + 5}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{8 + \frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}}{3 (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) + 5}$

Étape 4.2.3

Supprimez les parenthèses.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{8 + \frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}}{3 (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) + 5}$

Étape 4.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.4.1

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{- 3 x - 1}{- 3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{\frac{8 (- 3 x - 1)}{- 3 x - 1} + \frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}}{3 (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) + 5}$

Étape 4.2.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{\frac{8 (- 3 x - 1) + 5 x + 8}{- 3 x - 1}}{3 (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) + 5}$

Étape 4.2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{\frac{5 x + 8 (- 3 x - 1) + 8}{- 3 x - 1}}{3 (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) + 5}$

Étape 4.2.4.4

Réécrivez $\frac{5 x + 8 (- 3 x - 1) + 8}{- 3 x - 1}$ en forme factorisée.

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Étape 4.2.4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{\frac{5 x + 8 (- 3 x) + 8 \cdot - 1 + 8}{- 3 x - 1}}{3 (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) + 5}$

Étape 4.2.4.4.2

Multipliez $- 3$ par $8$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{\frac{5 x - 24 x + 8 \cdot - 1 + 8}{- 3 x - 1}}{3 (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) + 5}$

Étape 4.2.4.4.3

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{\frac{5 x - 24 x - 8 + 8}{- 3 x - 1}}{3 (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) + 5}$

Étape 4.2.4.4.4

Soustrayez $24 x$ de $5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{\frac{- 19 x - 8 + 8}{- 3 x - 1}}{3 (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) + 5}$

Étape 4.2.4.4.5

Additionnez $- 8$ et $8$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{\frac{- 19 x + 0}{- 3 x - 1}}{3 (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) + 5}$

Étape 4.2.4.4.6

Additionnez $- 19 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{\frac{- 19 x}{- 3 x - 1}}{3 (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) + 5}$

Étape 4.2.4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{- \frac{19 x}{- 3 x - 1}}{3 (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) + 5}$

Étape 4.2.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.5.1

Associez $3$ et $\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{- \frac{19 x}{- 3 x - 1}}{\frac{3 (5 x + 8)}{- 3 x - 1} + 5}$

Étape 4.2.5.2

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{- 3 x - 1}{- 3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{- \frac{19 x}{- 3 x - 1}}{\frac{3 (5 x + 8)}{- 3 x - 1} + \frac{5 (- 3 x - 1)}{- 3 x - 1}}$

Étape 4.2.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{- \frac{19 x}{- 3 x - 1}}{\frac{3 (5 x + 8) + 5 (- 3 x - 1)}{- 3 x - 1}}$

Étape 4.2.5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{- \frac{19 x}{- 3 x - 1}}{\frac{5 (- 3 x - 1) + 3 (5 x + 8)}{- 3 x - 1}}$

Étape 4.2.5.5

Réécrivez $\frac{5 (- 3 x - 1) + 3 (5 x + 8)}{- 3 x - 1}$ en forme factorisée.

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Étape 4.2.5.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{- \frac{19 x}{- 3 x - 1}}{\frac{5 (- 3 x) + 5 \cdot - 1 + 3 (5 x + 8)}{- 3 x - 1}}$

Étape 4.2.5.5.2

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{- \frac{19 x}{- 3 x - 1}}{\frac{- 15 x + 5 \cdot - 1 + 3 (5 x + 8)}{- 3 x - 1}}$

Étape 4.2.5.5.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{- \frac{19 x}{- 3 x - 1}}{\frac{- 15 x - 5 + 3 (5 x + 8)}{- 3 x - 1}}$

Étape 4.2.5.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{- \frac{19 x}{- 3 x - 1}}{\frac{- 15 x - 5 + 3 (5 x) + 3 \cdot 8}{- 3 x - 1}}$

Étape 4.2.5.5.5

Multipliez $5$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{- \frac{19 x}{- 3 x - 1}}{\frac{- 15 x - 5 + 15 x + 3 \cdot 8}{- 3 x - 1}}$

Étape 4.2.5.5.6

Multipliez $3$ par $8$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{- \frac{19 x}{- 3 x - 1}}{\frac{- 15 x - 5 + 15 x + 24}{- 3 x - 1}}$

Étape 4.2.5.5.7

Additionnez $- 15 x$ et $15 x$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{- \frac{19 x}{- 3 x - 1}}{\frac{0 - 5 + 24}{- 3 x - 1}}$

Étape 4.2.5.5.8

Soustrayez $5$ de $0$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{- \frac{19 x}{- 3 x - 1}}{\frac{- 5 + 24}{- 3 x - 1}}$

Étape 4.2.5.5.9

Additionnez $- 5$ et $24$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{- \frac{19 x}{- 3 x - 1}}{\frac{19}{- 3 x - 1}}$

Étape 4.2.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (- \frac{19 x}{- 3 x - 1} \cdot \frac{- 3 x - 1}{19})$

Étape 4.2.7

Annulez le facteur commun de $19$ .

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Étape 4.2.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{19 x}{- 3 x - 1}$ dans le numérateur.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (\frac{- 19 x}{- 3 x - 1} \cdot \frac{- 3 x - 1}{19})$

Étape 4.2.7.2

Factorisez $19$ à partir de $- 19 x$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (\frac{19 (- x)}{- 3 x - 1} \cdot \frac{- 3 x - 1}{19})$

Étape 4.2.7.3

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (\frac{19 (- x)}{- 3 x - 1} \cdot \frac{- 3 x - 1}{19})$

Étape 4.2.7.4

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (\frac{- x}{- 3 x - 1} \cdot (- 3 x - 1))$

Étape 4.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (- \frac{x}{- 3 x - 1} \cdot (- 3 x - 1))$

Étape 4.2.9

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (- \frac{x}{- 3 x - 1} \cdot (- 3 x) - \frac{x}{- 3 x - 1} \cdot - 1)$

Étape 4.2.10

Multipliez $- \frac{x}{- 3 x - 1} (- 3 x)$ .

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Étape 4.2.10.1

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (3 (\frac{x}{- 3 x - 1}) \cdot x - \frac{x}{- 3 x - 1} \cdot - 1)$

Étape 4.2.10.2

Associez $3$ et $\frac{x}{- 3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (\frac{3 x}{- 3 x - 1} \cdot x - \frac{x}{- 3 x - 1} \cdot - 1)$

Étape 4.2.10.3

Associez $\frac{3 x}{- 3 x - 1}$ et $x$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (\frac{3 x \cdot x}{- 3 x - 1} - \frac{x}{- 3 x - 1} \cdot - 1)$

Étape 4.2.10.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (\frac{3 (x \cdot x)}{- 3 x - 1} - \frac{x}{- 3 x - 1} \cdot - 1)$

Étape 4.2.10.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (\frac{3 (x \cdot x)}{- 3 x - 1} - \frac{x}{- 3 x - 1} \cdot - 1)$

Étape 4.2.10.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (\frac{3 x^{1 + 1}}{- 3 x - 1} - \frac{x}{- 3 x - 1} \cdot - 1)$

Étape 4.2.10.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (\frac{3 x^{2}}{- 3 x - 1} - \frac{x}{- 3 x - 1} \cdot - 1)$

Étape 4.2.11

Multipliez $- \frac{x}{- 3 x - 1} \cdot - 1$ .

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Étape 4.2.11.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (\frac{3 x^{2}}{- 3 x - 1} + 1 (\frac{x}{- 3 x - 1}))$

Étape 4.2.11.2

Multipliez $\frac{x}{- 3 x - 1}$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (\frac{3 x^{2}}{- 3 x - 1} + \frac{x}{- 3 x - 1})$

Étape 4.2.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{3 x^{2} + x}{- 3 x - 1}$

Étape 4.2.13

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2} + x$ .

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Étape 4.2.13.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{x (3 x) + x}{- 3 x - 1}$

Étape 4.2.13.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{x (3 x) + x}{- 3 x - 1}$

Étape 4.2.13.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{x (3 x) + x \cdot 1}{- 3 x - 1}$

Étape 4.2.13.4

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x) + x \cdot 1$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{x (3 x + 1)}{- 3 x - 1}$

Étape 4.2.14

Annulez le facteur commun à $3 x + 1$ et $- 3 x - 1$ .

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Étape 4.2.14.1

Factorisez $- 1$ à partir de $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{x (- (- 3 x) + 1)}{- 3 x - 1}$

Étape 4.2.14.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{x (- (- 3 x) - 1 \cdot - 1)}{- 3 x - 1}$

Étape 4.2.14.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 3 x) - 1 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{x (- (- 3 x - 1))}{- 3 x - 1}$

Étape 4.2.14.4

Réécrivez $- (- 3 x - 1)$ comme $- 1 (- 3 x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{x (- 1 (- 3 x - 1))}{- 3 x - 1}$

Étape 4.2.14.5

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{x (- 1 (- 3 x - 1))}{- 3 x - 1}$

Étape 4.2.14.6

Divisez $x \cdot (- 1)$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (x \cdot (- 1))$

Étape 4.2.15

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.15.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (- 1 x)$

Étape 4.2.15.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (- \frac{8 + x}{3 x + 5})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{5 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) + 8}{- 3 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) - 1}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.3.1

Multipliez $5 (- \frac{8 + x}{3 x + 5})$ .

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Étape 4.3.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{- 5 \frac{8 + x}{3 x + 5} + 8}{- 3 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) - 1}$

Étape 4.3.3.1.2

Associez $- 5$ et $\frac{8 + x}{3 x + 5}$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{- 5 (8 + x)}{3 x + 5} + 8}{- 3 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) - 1}$

Étape 4.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{- \frac{5 (8 + x)}{3 x + 5} + 8}{- 3 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) - 1}$

Étape 4.3.3.3

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x + 5}{3 x + 5}$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{- \frac{5 (8 + x)}{3 x + 5} + \frac{8 (3 x + 5)}{3 x + 5}}{- 3 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) - 1}$

Étape 4.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{- 5 (8 + x) + 8 (3 x + 5)}{3 x + 5}}{- 3 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) - 1}$

Étape 4.3.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{8 (3 x + 5) - 5 (8 + x)}{3 x + 5}}{- 3 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) - 1}$

Étape 4.3.3.6

Réécrivez $\frac{8 (3 x + 5) - 5 (8 + x)}{3 x + 5}$ en forme factorisée.

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Étape 4.3.3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{8 (3 x) + 8 \cdot 5 - 5 (8 + x)}{3 x + 5}}{- 3 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) - 1}$

Étape 4.3.3.6.2

Multipliez $3$ par $8$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{24 x + 8 \cdot 5 - 5 (8 + x)}{3 x + 5}}{- 3 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) - 1}$

Étape 4.3.3.6.3

Multipliez $8$ par $5$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{24 x + 40 - 5 (8 + x)}{3 x + 5}}{- 3 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) - 1}$

Étape 4.3.3.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{24 x + 40 - 5 \cdot 8 - 5 x}{3 x + 5}}{- 3 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) - 1}$

Étape 4.3.3.6.5

Multipliez $- 5$ par $8$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{24 x + 40 - 40 - 5 x}{3 x + 5}}{- 3 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) - 1}$

Étape 4.3.3.6.6

Soustrayez $5 x$ de $24 x$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x + 40 - 40}{3 x + 5}}{- 3 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) - 1}$

Étape 4.3.3.6.7

Soustrayez $40$ de $40$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x + 0}{3 x + 5}}{- 3 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) - 1}$

Étape 4.3.3.6.8

Additionnez $19 x$ et $0$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{- 3 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) - 1}$

Étape 4.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) - 1$ .

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Étape 4.3.4.1.1

Remettez dans l’ordre $8$ et $x$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{- 3 \cdot (- 1 \frac{x + 8}{3 x + 5}) - 1}$

Étape 4.3.4.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 \cdot - 1 \frac{x + 8}{3 x + 5}$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{- (- 3 \frac{x + 8}{3 x + 5}) - 1}$

Étape 4.3.4.1.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{- (- 3 \frac{x + 8}{3 x + 5}) - 1 \cdot 1}$

Étape 4.3.4.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 3 \frac{x + 8}{3 x + 5}) - 1 (1)$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{- (- 3 \frac{x + 8}{3 x + 5} + 1)}$

Étape 4.3.4.2

Associez $- 3$ et $\frac{x + 8}{3 x + 5}$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{- (\frac{- 3 (x + 8)}{3 x + 5} + 1)}$

Étape 4.3.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{- (- \frac{3 (x + 8)}{3 x + 5} + 1)}$

Étape 4.3.4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{- (- \frac{3 (x + 8)}{3 x + 5} + \frac{3 x + 5}{3 x + 5})}$

Étape 4.3.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{- \frac{- 3 (x + 8) + 3 x + 5}{3 x + 5}}$

Étape 4.3.4.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{- \frac{3 x + 5 - 3 (x + 8)}{3 x + 5}}$

Étape 4.3.4.7

Réécrivez $\frac{3 x + 5 - 3 (x + 8)}{3 x + 5}$ en forme factorisée.

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Étape 4.3.4.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{- \frac{3 x + 5 - 3 x - 3 \cdot 8}{3 x + 5}}$

Étape 4.3.4.7.2

Multipliez $- 3$ par $8$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{- \frac{3 x + 5 - 3 x - 24}{3 x + 5}}$

Étape 4.3.4.7.3

Soustrayez $3 x$ de $3 x$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{- \frac{0 + 5 - 24}{3 x + 5}}$

Étape 4.3.4.7.4

Additionnez $0$ et $5$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{- \frac{5 - 24}{3 x + 5}}$

Étape 4.3.4.7.5

Soustrayez $24$ de $5$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{- \frac{- 19}{3 x + 5}}$

Étape 4.3.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{1 (\frac{19}{3 x + 5})}$

Étape 4.3.4.9

Associez les exposants.

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Étape 4.3.4.9.1

Factorisez le signe négatif.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{\frac{19}{3 x + 5}}$

Étape 4.3.4.9.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{1 (\frac{19}{3 x + 5})}$

Étape 4.3.4.9.3

Multipliez $\frac{19}{3 x + 5}$ par $1$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{\frac{19}{3 x + 5}}$

Étape 4.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{19 x}{3 x + 5} \cdot \frac{3 x + 5}{19}$

Étape 4.3.6

Annulez le facteur commun de $19$ .

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Étape 4.3.6.1

Factorisez $19$ à partir de $19 x$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{19 (x)}{3 x + 5} \cdot \frac{3 x + 5}{19}$

Étape 4.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{19 x}{3 x + 5} \cdot \frac{3 x + 5}{19}$

Étape 4.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{x}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5)$

Étape 4.3.7

Annulez le facteur commun de $3 x + 5$ .

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Étape 4.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{x}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5)$

Étape 4.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{8 + x}{3 x + 5}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{8 + x}{3 x + 5}$