Algèbre Exemples

$\sqrt[3]{7 x - 21} - 3$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \sqrt[3]{7 y - 21} - 3$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt[3]{7 y - 21} - 3 = x$ .

$\sqrt[3]{7 y - 21} - 3 = x$

Étape 2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt[3]{7 y - 21} = x + 3$

Étape 2.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{7 y - 21}}^{3} = {(x + 3)}^{3}$

Étape 2.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{7 y - 21}$ comme ${(7 y - 21)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(7 y - 21)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 3)}^{3}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez ${({(7 y - 21)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(7 y - 21)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(7 y - 21)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 3)}^{3}$

Étape 2.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(7 y - 21)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 3)}^{3}$

Étape 2.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(7 y - 21)}^{1} = {(x + 3)}^{3}$

Étape 2.4.2.1.2

Simplifiez

$7 y - 21 = {(x + 3)}^{3}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Simplifiez ${(x + 3)}^{3}$ .

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Étape 2.4.3.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$7 y - 21 = x^{3} + 3 x^{2} \cdot 3 + 3 x \cdot 3^{2} + 3^{3}$

Étape 2.4.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.3.1.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$7 y - 21 = x^{3} + 9 x^{2} + 3 x \cdot 3^{2} + 3^{3}$

Étape 2.4.3.1.2.2

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.3.1.2.2.1

Déplacez $3^{2}$ .

$7 y - 21 = x^{3} + 9 x^{2} + 3^{2} \cdot 3 x + 3^{3}$

Étape 2.4.3.1.2.2.2

Multipliez $3^{2}$ par $3$ .

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Étape 2.4.3.1.2.2.2.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$7 y - 21 = x^{3} + 9 x^{2} + 3^{2} \cdot 3^{1} x + 3^{3}$

Étape 2.4.3.1.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$7 y - 21 = x^{3} + 9 x^{2} + 3^{2 + 1} x + 3^{3}$

Étape 2.4.3.1.2.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$7 y - 21 = x^{3} + 9 x^{2} + 3^{3} x + 3^{3}$

Étape 2.4.3.1.2.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$7 y - 21 = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 3^{3}$

Étape 2.4.3.1.2.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$7 y - 21 = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$

Étape 2.5

Résolvez $y$ .

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Étape 2.5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.5.1.1

Ajoutez $21$ aux deux côtés de l’équation.

$7 y = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27 + 21$

Étape 2.5.1.2

Additionnez $27$ et $21$ .

$7 y = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 48$

Étape 2.5.2

Divisez chaque terme dans $7 y = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 48$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $7 y = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 48$ par $7$ .

$\frac{7 y}{7} = \frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7}$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 2.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 y}{7} = \frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7}$

Étape 2.5.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[3]{7 x - 21} - 3$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{{(\sqrt[3]{7 x - 21} - 3)}^{3}}{7} + \frac{9 {(\sqrt[3]{7 x - 21} - 3)}^{2}}{7} + \frac{27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3)}{7} + \frac{48}{7}$

Étape 4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{{(\sqrt[3]{7 x - 21} - 3)}^{3} + 9 {(\sqrt[3]{7 x - 21} - 3)}^{2} + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x - 21$ .

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Étape 4.2.4.1.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{{(\sqrt[3]{7 (x) - 21} - 3)}^{3} + 9 {(\sqrt[3]{7 x - 21} - 3)}^{2} + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.1.2

Factorisez $7$ à partir de $- 21$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{{(\sqrt[3]{7 x + 7 \cdot - 3} - 3)}^{3} + 9 {(\sqrt[3]{7 x - 21} - 3)}^{2} + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.1.3

Factorisez $7$ à partir de $7 x + 7 \cdot - 3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{{(\sqrt[3]{7 (x - 3)} - 3)}^{3} + 9 {(\sqrt[3]{7 x - 21} - 3)}^{2} + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.2

Utilisez le théorème du binôme.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{{\sqrt[3]{7 (x - 3)}}^{3} + 3 {\sqrt[3]{7 (x - 3)}}^{2} \cdot - 3 + 3 \sqrt[3]{7 (x - 3)} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(\sqrt[3]{7 x - 21} - 3)}^{2} + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.3.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{7 (x - 3)}}^{3}$ comme $7 (x - 3)$ .

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Étape 4.2.4.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{7 (x - 3)}$ comme ${(7 (x - 3))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{{({(7 (x - 3))}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {\sqrt[3]{7 (x - 3)}}^{2} \cdot - 3 + 3 \sqrt[3]{7 (x - 3)} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(\sqrt[3]{7 x - 21} - 3)}^{2} + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{{(7 (x - 3))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {\sqrt[3]{7 (x - 3)}}^{2} \cdot - 3 + 3 \sqrt[3]{7 (x - 3)} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(\sqrt[3]{7 x - 21} - 3)}^{2} + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.3.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{{(7 (x - 3))}^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{7 (x - 3)}}^{2} \cdot - 3 + 3 \sqrt[3]{7 (x - 3)} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(\sqrt[3]{7 x - 21} - 3)}^{2} + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.3.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.4.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 4.2.4.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{(7 (x - 3)) + 3 {\sqrt[3]{7 (x - 3)}}^{2} \cdot - 3 + 3 \sqrt[3]{7 (x - 3)} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(\sqrt[3]{7 x - 21} - 3)}^{2} + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.3.1.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 (x - 3) + 3 {\sqrt[3]{7 (x - 3)}}^{2} \cdot - 3 + 3 \sqrt[3]{7 (x - 3)} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(\sqrt[3]{7 x - 21} - 3)}^{2} + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x + 7 \cdot - 3 + 3 {\sqrt[3]{7 (x - 3)}}^{2} \cdot - 3 + 3 \sqrt[3]{7 (x - 3)} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(\sqrt[3]{7 x - 21} - 3)}^{2} + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.3.3

Multipliez $7$ par $- 3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 21 + 3 {\sqrt[3]{7 (x - 3)}}^{2} \cdot - 3 + 3 \sqrt[3]{7 (x - 3)} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(\sqrt[3]{7 x - 21} - 3)}^{2} + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.3.4

Réécrivez ${\sqrt[3]{7 (x - 3)}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{(7 (x - 3))}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 21 + 3 \sqrt[3]{{(7 (x - 3))}^{2}} \cdot - 3 + 3 \sqrt[3]{7 (x - 3)} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(\sqrt[3]{7 x - 21} - 3)}^{2} + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.3.5

Appliquez la règle de produit à $7 (x - 3)$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 21 + 3 \sqrt[3]{7^{2} {(x - 3)}^{2}} \cdot - 3 + 3 \sqrt[3]{7 (x - 3)} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(\sqrt[3]{7 x - 21} - 3)}^{2} + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.3.6

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 21 + 3 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} \cdot - 3 + 3 \sqrt[3]{7 (x - 3)} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(\sqrt[3]{7 x - 21} - 3)}^{2} + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.3.7

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 21 - 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} + 3 \sqrt[3]{7 (x - 3)} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(\sqrt[3]{7 x - 21} - 3)}^{2} + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.3.8

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 21 - 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} + 3 \sqrt[3]{7 (x - 3)} \cdot 9 + {(- 3)}^{3} + 9 {(\sqrt[3]{7 x - 21} - 3)}^{2} + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.3.9

Multipliez $9$ par $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 21 - 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + {(- 3)}^{3} + 9 {(\sqrt[3]{7 x - 21} - 3)}^{2} + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.3.10

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 21 - 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} - 27 + 9 {(\sqrt[3]{7 x - 21} - 3)}^{2} + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.4

Soustrayez $27$ de $- 21$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 48 - 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 9 {(\sqrt[3]{7 x - 21} - 3)}^{2} + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.5

Factorisez $7$ à partir de $7 x - 21$ .

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Étape 4.2.4.5.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 48 - 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 9 {(\sqrt[3]{7 (x) - 21} - 3)}^{2} + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.5.2

Factorisez $7$ à partir de $- 21$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 48 - 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 9 {(\sqrt[3]{7 x + 7 \cdot - 3} - 3)}^{2} + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.5.3

Factorisez $7$ à partir de $7 x + 7 \cdot - 3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 48 - 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 9 {(\sqrt[3]{7 (x - 3)} - 3)}^{2} + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.6

Réécrivez ${(\sqrt[3]{7 (x - 3)} - 3)}^{2}$ comme $(\sqrt[3]{7 (x - 3)} - 3) (\sqrt[3]{7 (x - 3)} - 3)$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 48 - 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 9 ((\sqrt[3]{7 (x - 3)} - 3) (\sqrt[3]{7 (x - 3)} - 3)) + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.7

Développez $(\sqrt[3]{7 (x - 3)} - 3) (\sqrt[3]{7 (x - 3)} - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.4.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 48 - 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 9 (\sqrt[3]{7 (x - 3)} (\sqrt[3]{7 (x - 3)} - 3) - 3 (\sqrt[3]{7 (x - 3)} - 3)) + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 48 - 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 9 (\sqrt[3]{7 (x - 3)} \sqrt[3]{7 (x - 3)} + \sqrt[3]{7 (x - 3)} \cdot - 3 - 3 (\sqrt[3]{7 (x - 3)} - 3)) + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 48 - 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 9 (\sqrt[3]{7 (x - 3)} \sqrt[3]{7 (x - 3)} + \sqrt[3]{7 (x - 3)} \cdot - 3 - 3 \sqrt[3]{7 (x - 3)} - 3 \cdot - 3) + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.4.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.8.1.1

Multipliez $\sqrt[3]{7 (x - 3)} \sqrt[3]{7 (x - 3)}$ .

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Étape 4.2.4.8.1.1.1

Élevez $\sqrt[3]{7 (x - 3)}$ à la puissance $1$ .

Étape 4.2.4.8.1.1.2

Élevez $\sqrt[3]{7 (x - 3)}$ à la puissance $1$ .

Étape 4.2.4.8.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 48 - 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 9 ({\sqrt[3]{7 (x - 3)}}^{1 + 1} + \sqrt[3]{7 (x - 3)} \cdot - 3 - 3 \sqrt[3]{7 (x - 3)} - 3 \cdot - 3) + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.8.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 48 - 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 9 ({\sqrt[3]{7 (x - 3)}}^{2} + \sqrt[3]{7 (x - 3)} \cdot - 3 - 3 \sqrt[3]{7 (x - 3)} - 3 \cdot - 3) + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.8.1.2

Réécrivez ${\sqrt[3]{7 (x - 3)}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{(7 (x - 3))}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 48 - 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 9 (\sqrt[3]{{(7 (x - 3))}^{2}} + \sqrt[3]{7 (x - 3)} \cdot - 3 - 3 \sqrt[3]{7 (x - 3)} - 3 \cdot - 3) + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.8.1.3

Appliquez la règle de produit à $7 (x - 3)$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 48 - 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 9 (\sqrt[3]{7^{2} {(x - 3)}^{2}} + \sqrt[3]{7 (x - 3)} \cdot - 3 - 3 \sqrt[3]{7 (x - 3)} - 3 \cdot - 3) + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.8.1.4

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 48 - 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 9 (\sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} + \sqrt[3]{7 (x - 3)} \cdot - 3 - 3 \sqrt[3]{7 (x - 3)} - 3 \cdot - 3) + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.8.1.5

Déplacez $- 3$ à gauche de $\sqrt[3]{7 (x - 3)}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 48 - 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 9 (\sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} - 3 \cdot \sqrt[3]{7 (x - 3)} - 3 \sqrt[3]{7 (x - 3)} - 3 \cdot - 3) + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.8.1.6

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 48 - 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 9 (\sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} - 3 \sqrt[3]{7 (x - 3)} - 3 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 9) + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.8.2

Soustrayez $3 \sqrt[3]{7 (x - 3)}$ de $- 3 \sqrt[3]{7 (x - 3)}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 48 - 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 9 (\sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} - 6 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 9) + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.9

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 48 - 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} + 9 (- 6 \sqrt[3]{7 (x - 3)}) + 9 \cdot 9 + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.10

Simplifiez

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Étape 4.2.4.10.1

Multipliez $- 6$ par $9$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 48 - 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} - 54 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 9 \cdot 9 + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.10.2

Multipliez $9$ par $9$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 48 - 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} - 54 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 81 + 27 (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.11

Factorisez $7$ à partir de $7 x - 21$ .

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Étape 4.2.4.11.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 48 - 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} - 54 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 81 + 27 (\sqrt[3]{7 (x) - 21} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.11.2

Factorisez $7$ à partir de $- 21$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 48 - 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} - 54 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 81 + 27 (\sqrt[3]{7 x + 7 \cdot - 3} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.11.3

Factorisez $7$ à partir de $7 x + 7 \cdot - 3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 48 - 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} - 54 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 81 + 27 (\sqrt[3]{7 (x - 3)} - 3) + 48}{7}$

Étape 4.2.4.12

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 48 - 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} - 54 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 81 + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 27 \cdot - 3 + 48}{7}$

Étape 4.2.4.13

Multipliez $27$ par $- 3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 48 - 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} - 54 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 81 + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} - 81 + 48}{7}$

Étape 4.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.5.1

Associez les termes opposés dans $7 x - 48 - 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}} - 54 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 81 + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} - 81 + 48$ .

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Étape 4.2.5.1.1

Additionnez $- 9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}}$ et $9 \sqrt[3]{49 {(x - 3)}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 48 + 0 + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} - 54 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 81 + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} - 81 + 48}{7}$

Étape 4.2.5.1.2

Additionnez $7 x - 48$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 48 + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} - 54 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 81 + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} - 81 + 48}{7}$

Étape 4.2.5.1.3

Soustrayez $81$ de $81$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 48 + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} - 54 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 0 + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 48}{7}$

Étape 4.2.5.1.4

Additionnez $7 x - 48 + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} - 54 \sqrt[3]{7 (x - 3)}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 48 + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} - 54 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 48}{7}$

Étape 4.2.5.1.5

Additionnez $- 48$ et $48$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x + 0 + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} - 54 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)}}{7}$

Étape 4.2.5.1.6

Additionnez $7 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} - 54 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)}}{7}$

Étape 4.2.5.2

Soustrayez $54 \sqrt[3]{7 (x - 3)}$ de $27 \sqrt[3]{7 (x - 3)}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x - 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)}}{7}$

Étape 4.2.5.3

Associez les termes opposés dans $7 x - 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)} + 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)}$ .

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Étape 4.2.5.3.1

Additionnez $- 27 \sqrt[3]{7 (x - 3)}$ et $27 \sqrt[3]{7 (x - 3)}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x + 0}{7}$

Étape 4.2.5.3.2

Additionnez $7 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x}{7}$

Étape 4.2.5.4

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 4.2.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = \frac{7 x}{7}$

Étape 4.2.5.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{7 x - 21} - 3) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7}) = \sqrt[3]{7 (\frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7}) - 21} - 3$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $7$ à partir de $7 (\frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7}) - 21$ .

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Étape 4.3.3.1.1

Factorisez $7$ à partir de $- 21$ .

$f (\frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7}) = \sqrt[3]{7 (\frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7}) + 7 \cdot - 3} - 3$

Étape 4.3.3.1.2

Factorisez $7$ à partir de $7 (\frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7}) + 7 \cdot - 3$ .

$f (\frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7}) = \sqrt[3]{7 (\frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7} - 3)} - 3$

Étape 4.3.3.2

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$f (\frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7}) = \sqrt[3]{7 (\frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7} - 3 \cdot \frac{7}{7})} - 3$

Étape 4.3.3.3

Associez $- 3$ et $\frac{7}{7}$ .

$f (\frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7}) = \sqrt[3]{7 (\frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7} + \frac{- 3 \cdot 7}{7})} - 3$

Étape 4.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7}) = \sqrt[3]{7 (\frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48 - 3 \cdot 7}{7})} - 3$

Étape 4.3.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.3.5.1

Multipliez $- 3$ par $7$ .

$f (\frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7}) = \sqrt[3]{7 (\frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48 - 21}{7})} - 3$

Étape 4.3.3.5.2

Soustrayez $21$ de $48$ .

$f (\frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7}) = \sqrt[3]{7 (\frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{27}{7})} - 3$

Étape 4.3.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7}) = \sqrt[3]{7 (\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27}{7})} - 3$

Étape 4.3.3.7

Associez $7$ et $\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27}{7}$ .

$f (\frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7}) = \sqrt[3]{\frac{7 (x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27)}{7}} - 3$

Étape 4.3.3.8

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.8.1

Réduisez l’expression $\frac{7 (x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27)}{7}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.8.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7}) = \sqrt[3]{\frac{7 (x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27)}{7}} - 3$

Étape 4.3.3.8.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7}) = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27}{1}} - 3$

Étape 4.3.3.8.2

Divisez $x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ par $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7}) = \sqrt[3]{x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27} - 3$

Étape 4.3.3.9

Faites correspondre chaque terme aux termes de la formule du théorème du binôme.

$f (\frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7}) = \sqrt[3]{x^{3} + 3 \cdot (3 x^{2}) + 3 \cdot (3^{2} x) + 3^{3}} - 3$

Étape 4.3.3.10

Factorisez $x^{3} + 3 \cdot 3 x^{2} + 3 \cdot 3^{2} x + 3^{3}$ en utilisant le théorème du binôme.

$f (\frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7}) = \sqrt[3]{{(x + 3)}^{3}} - 3$

Étape 4.3.3.11

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f (\frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7}) = x + 3 - 3$

Étape 4.3.4

Associez les termes opposés dans $x + 3 - 3$ .

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Étape 4.3.4.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f (\frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7}) = x + 0$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[3]{7 x - 21} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{7} + \frac{9 x^{2}}{7} + \frac{27 x}{7} + \frac{48}{7}$