Algèbre Exemples

$2 - \log_{3} (x + 1)$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = 2 - \log_{3} (y + 1)$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $2 - \log_{3} (y + 1) = x$ .

$2 - \log_{3} (y + 1) = x$

Étape 2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- \log_{3} (y + 1) = x - 2$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $- \log_{3} (y + 1) = x - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $- \log_{3} (y + 1) = x - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- \log_{3} (y + 1)}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\log_{3} (y + 1)}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.3.2.2

Divisez $\log_{3} (y + 1)$ par $1$ .

$\log_{3} (y + 1) = \frac{x}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{x}{- 1}$ .

$\log_{3} (y + 1) = - 1 \cdot x + \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.3.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot x$ comme $- x$ .

$\log_{3} (y + 1) = - x + \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.3.3.1.3

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$\log_{3} (y + 1) = - x + 2$

Étape 2.4

Réécrivez $\log_{3} (y + 1) = - x + 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$3^{- x + 2} = y + 1$

Étape 2.5

Résolvez $y$ .

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’équation comme $y + 1 = 3^{- x + 2}$ .

$y + 1 = 3^{- x + 2}$

Étape 2.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = 3^{- x + 2} - 1$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3^{- x + 2} - 1$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 3^{- x + 2} - 1$ est l’inverse de $f (x) = 2 - \log_{3} (x + 1)$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = 3^{- (2 - \log_{3} (x + 1)) + 2} - 1$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = 3^{- 1 \cdot 2 + \log_{3} (x + 1) + 2} - 1$

Étape 4.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = 3^{- 2 + \log_{3} (x + 1) + 2} - 1$

Étape 4.2.3.1.3

Multipliez $- - \log_{3} (x + 1)$ .

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Étape 4.2.3.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = 3^{- 2 + 1 \log_{3} (x + 1) + 2} - 1$

Étape 4.2.3.1.3.2

Multipliez $\log_{3} (x + 1)$ par $1$ .

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = 3^{- 2 + \log_{3} (x + 1) + 2} - 1$

Étape 4.2.3.2

Associez les termes opposés dans $- 2 + \log_{3} (x + 1) + 2$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = 3^{0 + \log_{3} (x + 1)} - 1$

Étape 4.2.3.2.2

Additionnez $0$ et $\log_{3} (x + 1)$ .

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = 3^{\log_{3} (x + 1)} - 1$

Étape 4.2.3.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = x + 1 - 1$

Étape 4.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 1 - 1$ .

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Étape 4.2.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = x + 0$

Étape 4.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (3^{- x + 2} - 1)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 - \log_{3} ((3^{- x + 2} - 1) + 1)$

Étape 4.3.3

Associez les termes opposés dans $2 - \log_{3} ((3^{- x + 2} - 1) + 1)$ .

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Étape 4.3.3.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 - \log_{3} (3^{- x + 2} + 0)$

Étape 4.3.3.2

Additionnez $3^{- x + 2}$ et $0$ .

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 - \log_{3} (3^{- x + 2})$

Étape 4.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.4.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $- x + 2$ de l’exposant.

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 - ((- x + 2) \log_{3} (3))$

Étape 4.3.4.2

La base logarithmique $3$ de $3$ est $1$ .

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 - ((- x + 2) \cdot 1)$

Étape 4.3.4.3

Multipliez $- x + 2$ par $1$ .

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 - (- x + 2)$

Étape 4.3.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 + x - 1 \cdot 2$

Étape 4.3.4.5

Multipliez $- - x$ .

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Étape 4.3.4.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 + 1 x - 1 \cdot 2$

Étape 4.3.4.5.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 + x - 1 \cdot 2$

Étape 4.3.4.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 + x - 2$

Étape 4.3.5

Associez les termes opposés dans $2 + x - 2$ .

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Étape 4.3.5.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f (3^{- x + 2} - 1) = x + 0$

Étape 4.3.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (3^{- x + 2} - 1) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 3^{- x + 2} - 1$ est l’inverse de $f (x) = 2 - \log_{3} (x + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = 3^{- x + 2} - 1$