Algèbre Exemples

$- 2 \ln (x + 1)$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = - 2 \ln (y + 1)$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $- 2 \ln (y + 1) = x$ .

$- 2 \ln (y + 1) = x$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 \ln (y + 1) = x$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \ln (y + 1) = x$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \ln (y + 1)}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \ln (y + 1)}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $\ln (y + 1)$ par $1$ .

$\ln (y + 1) = \frac{x}{- 2}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (y + 1) = - \frac{x}{2}$

Étape 2.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (y + 1)} = e^{- \frac{x}{2}}$

Étape 2.4

Réécrivez $\ln (y + 1) = - \frac{x}{2}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x}{2}} = y + 1$

Étape 2.5

Résolvez $y$ .

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’équation comme $y + 1 = e^{- \frac{x}{2}}$ .

$y + 1 = e^{- \frac{x}{2}}$

Étape 2.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = e^{- \frac{x}{2}} - 1$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{- \frac{x}{2}} - 1$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = e^{- \frac{x}{2}} - 1$ est l’inverse de $f (x) = - 2 \ln (x + 1)$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{- \frac{- 2 \ln (x + 1)}{2}} - 1$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 4.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \ln (x + 1)$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{- \frac{2 (- \ln (x + 1))}{2}} - 1$

Étape 4.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{- \frac{2 (- \ln (x + 1))}{2 (1)}} - 1$

Étape 4.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{- \frac{2 (- \ln (x + 1))}{2 \cdot 1}} - 1$

Étape 4.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{- \frac{- \ln (x + 1)}{1}} - 1$

Étape 4.2.3.1.2.4

Divisez $- \ln (x + 1)$ par $1$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{\ln (x + 1)} - 1$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $- - \ln (x + 1)$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{1 \ln (x + 1)} - 1$

Étape 4.2.3.2.2

Multipliez $\ln (x + 1)$ par $1$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{\ln (x + 1)} - 1$

Étape 4.2.3.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = x + 1 - 1$

Étape 4.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 1 - 1$ .

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Étape 4.2.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = x + 0$

Étape 4.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (e^{- \frac{x}{2}} - 1)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 \ln ((e^{- \frac{x}{2}} - 1) + 1)$

Étape 4.3.3

Associez les termes opposés dans $(e^{- \frac{x}{2}} - 1) + 1$ .

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Étape 4.3.3.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 \ln (e^{- \frac{x}{2}} + 0)$

Étape 4.3.3.2

Additionnez $e^{- \frac{x}{2}}$ et $0$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 \ln (e^{- \frac{x}{2}})$

Étape 4.3.4

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $- \frac{x}{2}$ de l’exposant.

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 (- \frac{x}{2} \cdot \ln (e))$

Étape 4.3.5

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 (- \frac{x}{2} \cdot 1)$

Étape 4.3.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 (- \frac{x}{2})$

Étape 4.3.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{2}$ dans le numérateur.

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 \frac{- x}{2}$

Étape 4.3.7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = 2 (- 1) (\frac{- x}{2})$

Étape 4.3.7.3

Annulez le facteur commun.

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = 2 \cdot (- 1 \frac{- x}{2})$

Étape 4.3.7.4

Réécrivez l’expression.

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 1 (- x)$

Étape 4.3.8

Multipliez.

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Étape 4.3.8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = 1 x$

Étape 4.3.8.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = e^{- \frac{x}{2}} - 1$ est l’inverse de $f (x) = - 2 \ln (x + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{- \frac{x}{2}} - 1$