Algèbre Exemples

$t (x) = x^{4} - 5 x^{3} + 20 x - 16$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(1)}^{4} - 5 {(1)}^{3} + 20 (1) - 16$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 5 {(1)}^{3} + 20 (1) - 16$

Étape 4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 5 \cdot 1 + 20 (1) - 16$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$1 - 5 + 20 (1) - 16$

Étape 4.1.4

Multipliez $20$ par $1$ .

$1 - 5 + 20 - 16$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $5$ de $1$ .

$- 4 + 20 - 16$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 4$ et $20$ .

$16 - 16$

Étape 4.2.3

Soustrayez $16$ de $16$ .

$0$

Étape 5

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} - 5 x^{3} + 20 x - 16}{x - 1}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 5)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$
		$1$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$
		$1$
	$1$	$- 4$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 4)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(- 4)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$
		$1$	$- 4$
	$1$	$- 4$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$
		$1$	$- 4$
	$1$	$- 4$	$- 4$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 4)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(- 4)$ sous le terme suivant dans le dividende $(20)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$
		$1$	$- 4$	$- 4$
	$1$	$- 4$	$- 4$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$
		$1$	$- 4$	$- 4$
	$1$	$- 4$	$- 4$	$16$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(16)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(16)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 16)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$
		$1$	$- 4$	$- 4$	$16$
	$1$	$- 4$	$- 4$	$16$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$
		$1$	$- 4$	$- 4$	$16$
	$1$	$- 4$	$- 4$	$16$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (- 4) x + 16$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16$

Étape 7

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x - 1) (x^{3} - 4 x^{2}) - 4 x + 16$

Étape 7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x - 1) + x^{2} (x - 4) - 4 (x - 4)$

$(x - 1) x^{2} (x - 4) - 4 (x - 4)$

Étape 8

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 4$ .

$(x - 1) (x - 4) (x^{2} - 4)$

Étape 9

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(x - 1) (x - 4) (x^{2} - 2^{2})$

Étape 10

Factorisez.

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Étape 10.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$(x - 1) + (x - 4) ((x + 2) (x - 2))$

Étape 10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 1) + (x - 4) (x + 2) (x - 2)$

$(x - 1) (x - 4) (x + 2) (x - 2)$

Étape 11

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 11.1

Factorisez $x^{4} - 5 x^{3} + 20 x - 16$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 11.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Étape 11.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Étape 11.1.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 11.1.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$1^{4} - 5 \cdot 1^{3} + 20 \cdot 1 - 16$

Étape 11.1.3.2

Élevez $1$ à la puissance $4$ .

$1 - 5 \cdot 1^{3} + 20 \cdot 1 - 16$

Étape 11.1.3.3

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$1 - 5 \cdot 1 + 20 \cdot 1 - 16$

Étape 11.1.3.4

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$1 - 5 + 20 \cdot 1 - 16$

Étape 11.1.3.5

Soustrayez $5$ de $1$ .

$- 4 + 20 \cdot 1 - 16$

Étape 11.1.3.6

Multipliez $20$ par $1$ .

$- 4 + 20 - 16$

Étape 11.1.3.7

Additionnez $- 4$ et $20$ .

$16 - 16$

Étape 11.1.3.8

Soustrayez $16$ de $16$ .

$0$

Étape 11.1.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} - 5 x^{3} + 20 x - 16}{x - 1}$

Étape 11.1.5

Divisez $x^{4} - 5 x^{3} + 20 x - 16$ par $x - 1$ .

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Étape 11.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

Étape 11.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

Étape 11.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

Étape 11.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{4} - x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

Étape 11.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

Étape 11.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

Étape 11.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

Étape 11.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Étape 11.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 x^{3} + 4 x^{2}$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Étape 11.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Étape 11.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

Étape 11.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

Étape 11.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Étape 11.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 x^{2} + 4 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Étape 11.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16 x$

Étape 11.1.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16 x$

$16$

Étape 11.1.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $16 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16 x$

$16$

Étape 11.1.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16 x$

$16$

$16 x$

$16$

Étape 11.1.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $16 x - 16$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16 x$

$16$

$16 x$

$16$

Étape 11.1.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16 x$

$16$

$16 x$

$16$

$0$

Étape 11.1.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16$

Étape 11.1.6

Écrivez $x^{4} - 5 x^{3} + 20 x - 16$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 1) (x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16) = 0$

Étape 11.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 11.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x - 1) ((x^{3} - 4 x^{2}) - 4 x + 16) = 0$

Étape 11.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x - 1) (x^{2} (x - 4) - 4 (x - 4)) = 0$

Étape 11.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 4$ .

$(x - 1) ((x - 4) (x^{2} - 4)) = 0$

Étape 11.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(x - 1) ((x - 4) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

Étape 11.5

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.5.1

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.5.1.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$(x - 1) ((x - 4) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

Étape 11.5.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 1) ((x - 4) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Étape 11.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 1) (x - 4) (x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 12

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 13

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 13.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 14

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 14.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 15

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 15.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 16

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 16.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 17

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (x - 4) (x + 2) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 1, 4, - 2, 2$

Étape 18