Algèbre Exemples

$f (x) = 6 x^{4} - 21 x^{3} - 4 x^{2} + 24 x - 35$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 35$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{5}{6}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm \frac{7}{3}, \pm \frac{7}{6}, \pm 35, \pm \frac{35}{2}, \pm \frac{35}{3}, \pm \frac{35}{6}$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$6 {(\frac{7}{2})}^{4} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = \frac{7}{2}$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{2}$ .

$6 \frac{7^{4}}{2^{4}} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Étape 4.1.2

Élevez $7$ à la puissance $4$ .

$6 \frac{2401}{2^{4}} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Étape 4.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$6 (\frac{2401}{16}) - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Étape 4.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 (3) \frac{2401}{16} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Étape 4.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$2 \cdot 3 \frac{2401}{2 \cdot 8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Étape 4.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 3 \frac{2401}{2 \cdot 8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Étape 4.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{2401}{8}) - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Étape 4.1.5

Associez $3$ et $\frac{2401}{8}$ .

$\frac{3 \cdot 2401}{8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Étape 4.1.6

Multipliez $3$ par $2401$ .

$\frac{7203}{8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Étape 4.1.7

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{2}$ .

$\frac{7203}{8} - 21 \frac{7^{3}}{2^{3}} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Étape 4.1.8

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$\frac{7203}{8} - 21 \frac{343}{2^{3}} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Étape 4.1.9

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{7203}{8} - 21 (\frac{343}{8}) - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Étape 4.1.10

Multipliez $- 21 (\frac{343}{8})$ .

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Étape 4.1.10.1

Associez $- 21$ et $\frac{343}{8}$ .

$\frac{7203}{8} + \frac{- 21 \cdot 343}{8} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Étape 4.1.10.2

Multipliez $- 21$ par $343$ .

$\frac{7203}{8} + \frac{- 7203}{8} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Étape 4.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Étape 4.1.12

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{2}$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 \frac{7^{2}}{2^{2}} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Étape 4.1.13

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 \frac{49}{2^{2}} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Étape 4.1.14

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 (\frac{49}{4}) + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Étape 4.1.15

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.1.15.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} + 4 (- 1) \frac{49}{4} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Étape 4.1.15.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} + 4 \cdot - 1 \frac{49}{4} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Étape 4.1.15.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 1 \cdot 49 + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Étape 4.1.16

Multipliez $- 1$ par $49$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Étape 4.1.17

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.17.1

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 2 (12) \frac{7}{2} - 35$

Étape 4.1.17.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 2 \cdot 12 \frac{7}{2} - 35$

Étape 4.1.17.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 12 \cdot 7 - 35$

Étape 4.1.18

Multipliez $12$ par $7$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 84 - 35$

Étape 4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 49 + 84 - 35 + \frac{7203 - 7203}{8}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $7203$ de $7203$ .

$- 49 + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

Étape 4.3

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.3.1

Écrivez $- 49$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 49}{1} + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{- 49}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49}{1} \cdot \frac{8}{8} + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

Étape 4.3.3

Multipliez $\frac{- 49}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

Étape 4.3.4

Écrivez $84$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84}{1} - 35 + \frac{0}{8}$

Étape 4.3.5

Multipliez $\frac{84}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84}{1} \cdot \frac{8}{8} - 35 + \frac{0}{8}$

Étape 4.3.6

Multipliez $\frac{84}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} - 35 + \frac{0}{8}$

Étape 4.3.7

Écrivez $- 35$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} + \frac{- 35}{1} + \frac{0}{8}$

Étape 4.3.8

Multipliez $\frac{- 35}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} + \frac{- 35}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{0}{8}$

Étape 4.3.9

Multipliez $\frac{- 35}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} + \frac{- 35 \cdot 8}{8} + \frac{0}{8}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 49 \cdot 8 + 84 \cdot 8 - 35 \cdot 8}{8}$

Étape 4.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 49$ par $8$ .

$\frac{- 392 + 84 \cdot 8 - 35 \cdot 8}{8}$

Étape 4.5.2

Multipliez $84$ par $8$ .

$\frac{- 392 + 672 - 35 \cdot 8}{8}$

Étape 4.5.3

Multipliez $- 35$ par $8$ .

$\frac{- 392 + 672 - 280}{8}$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1

Additionnez $- 392$ et $672$ .

$\frac{280 - 280}{8}$

Étape 4.6.2

Soustrayez $280$ de $280$ .

$\frac{0}{8}$

Étape 4.6.3

Divisez $0$ par $8$ .

$0$

Étape 5

Comme $\frac{7}{2}$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - \frac{7}{2}$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{6 x^{4} - 21 x^{3} - 4 x^{2} + 24 x - 35}{x - \frac{7}{2}}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(6)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$

	$6$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(6)$ par le diviseur $(\frac{7}{2})$ et placez le résultat de $(21)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 21)$ .

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$
	$6$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$
	$6$	$0$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(0)$ par le diviseur $(\frac{7}{2})$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 4)$ .

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$
	$6$	$0$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$
	$6$	$0$	$- 4$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 4)$ par le diviseur $(\frac{7}{2})$ et placez le résultat de $(- 14)$ sous le terme suivant dans le dividende $(24)$ .

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$
	$6$	$0$	$- 4$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$
	$6$	$0$	$- 4$	$10$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(10)$ par le diviseur $(\frac{7}{2})$ et placez le résultat de $(35)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 35)$ .

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$	$35$
	$6$	$0$	$- 4$	$10$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$	$35$
	$6$	$0$	$- 4$	$10$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$6 x^{3} + 0 x^{2} + (- 4) x + 10$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$6 x^{3} - 4 x + 10$

Étape 7

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{3} - 4 x + 10$ .

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Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{3}$ .

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3}) - 4 x + 10)$

Étape 7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x$ .

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3}) + 2 (- 2 x) + 10)$

Étape 7.3

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3}) + 2 (- 2 x) + 2 (5))$

Étape 7.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x^{3}) + 2 (- 2 x)$ .

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3} - 2 x) + 2 (5))$

Étape 7.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x^{3} - 2 x) + 2 (5)$ .

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3} - 2 x + 5))$

Étape 8

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx - 1.37173942, \frac{7}{2}$

Étape 9