Algèbre Exemples

${(x^{2} - 2 y^{2})}^{3}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(x^{2})}^{3 - k} \cdot {(- 2 y^{2})}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(x^{2})}^{3 - 0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(x^{2})}^{3 - 1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(x^{2})}^{3 - 2} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(x^{2})}^{3 - 3} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(- 2 y^{2})}^{0} + 3 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 2 y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(x^{2})}^{3}$ par $1$ .

${(x^{2})}^{3} \cdot {(- 2 y^{2})}^{0} + 3 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 2 y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{3}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2 \cdot 3} \cdot {(- 2 y^{2})}^{0} + 3 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 2 y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x^{6} \cdot {(- 2 y^{2})}^{0} + 3 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 2 y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Étape 4.3

Appliquez la règle de produit à $- 2 y^{2}$ .

$x^{6} \cdot ({(- 2)}^{0} {(y^{2})}^{0}) + 3 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 2 y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Étape 4.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${(- 2)}^{0} x^{6} {(y^{2})}^{0} + 3 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 2 y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Étape 4.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 x^{6} {(y^{2})}^{0} + 3 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 2 y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Étape 4.6

Multipliez $x^{6}$ par $1$ .

$x^{6} {(y^{2})}^{0} + 3 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 2 y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Étape 4.7

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{0}$ .

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Étape 4.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{6} y^{2 \cdot 0} + 3 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 2 y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Étape 4.7.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$x^{6} y^{0} + 3 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 2 y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Étape 4.8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{6} \cdot 1 + 3 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 2 y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Étape 4.9

Multipliez $x^{6}$ par $1$ .

$x^{6} + 3 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 2 y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Étape 4.10

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.10.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{6} + 3 \cdot x^{2 \cdot 2} \cdot {(- 2 y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Étape 4.10.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x^{6} + 3 \cdot x^{4} \cdot {(- 2 y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Étape 4.11

Simplifiez

$x^{6} + 3 x^{4} \cdot (- 2 y^{2}) + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Étape 4.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{6} + 3 \cdot - 2 x^{4} y^{2} + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Étape 4.13

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Étape 4.14

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{1}$ .

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Étape 4.14.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 3 \cdot x^{2 \cdot 1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Étape 4.14.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 3 \cdot x^{2} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Étape 4.15

Appliquez la règle de produit à $- 2 y^{2}$ .

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} \cdot ({(- 2)}^{2} {(y^{2})}^{2}) + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Étape 4.16

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 3 \cdot {(- 2)}^{2} x^{2} {(y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Étape 4.17

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 3 \cdot 4 x^{2} {(y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Étape 4.18

Multipliez $3$ par $4$ .

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 12 x^{2} {(y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Étape 4.19

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.19.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 12 x^{2} y^{2 \cdot 2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Étape 4.19.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 12 x^{2} y^{4} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Étape 4.20

Multipliez ${(x^{2})}^{0}$ par $1$ .

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 12 x^{2} y^{4} + {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Étape 4.21

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{0}$ .

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Étape 4.21.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 12 x^{2} y^{4} + x^{2 \cdot 0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Étape 4.21.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 12 x^{2} y^{4} + x^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Étape 4.22

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 12 x^{2} y^{4} + 1 \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Étape 4.23

Multipliez ${(- 2 y^{2})}^{3}$ par $1$ .

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 12 x^{2} y^{4} + {(- 2 y^{2})}^{3}$

Étape 4.24

Appliquez la règle de produit à $- 2 y^{2}$ .

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 12 x^{2} y^{4} + {(- 2)}^{3} {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.25

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 12 x^{2} y^{4} - 8 {(y^{2})}^{3}$

Étape 4.26

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{3}$ .

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Étape 4.26.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 12 x^{2} y^{4} - 8 y^{2 \cdot 3}$

Étape 4.26.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 12 x^{2} y^{4} - 8 y^{6}$