Algèbre Exemples

$y = - x^{2} - 5 x - 6$

Étape 1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- x^{2} - 5 x - 6 = y$

Étape 2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$- x^{2} - 5 x = y + 6$

Étape 3

Complétez le carré.

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Étape 3.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = - 5$

$c = 0 = y + 6$

Étape 3.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e = y + 6$

Étape 3.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 5}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$d = \frac{- 5}{- 2}$

Étape 3.3.2.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$d = \frac{5}{2}$

Étape 3.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 3.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot - 1}$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = 0 - \frac{25}{- 4}$

Étape 3.4.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = 0 - - \frac{25}{4}$

Étape 3.4.2.1.4

Multipliez $- - \frac{25}{4}$ .

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Étape 3.4.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{25}{4})$

Étape 3.4.2.1.4.2

Multipliez $\frac{25}{4}$ par $1$ .

$e = 0 + \frac{25}{4}$

Étape 3.4.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{25}{4}$ .

$e = \frac{25}{4}$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{25}{4}$ .

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{25}{4} = y + 6$

Étape 4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $\frac{25}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} = y + 6 - \frac{25}{4}$

Étape 4.2

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} = y + 6 \cdot \frac{4}{4} - \frac{25}{4}$

Étape 4.3

Associez $6$ et $\frac{4}{4}$ .

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} = y + \frac{6 \cdot 4}{4} - \frac{25}{4}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} = y + \frac{6 \cdot 4 - 25}{4}$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $6$ par $4$ .

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} = y + \frac{24 - 25}{4}$

Étape 4.5.2

Soustrayez $25$ de $24$ .

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} = y + \frac{- 1}{4}$

Étape 4.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} = y - \frac{1}{4}$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- {(x + \frac{5}{2})}^{2} = y - \frac{1}{4}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- {(x + \frac{5}{2})}^{2} = y - \frac{1}{4}$ par $- 1$ .

$\frac{- {(x + \frac{5}{2})}^{2}}{- 1} = \frac{y}{- 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{- 1}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{{(x + \frac{5}{2})}^{2}}{1} = \frac{y}{- 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{- 1}$

Étape 5.2.2

Divisez ${(x + \frac{5}{2})}^{2}$ par $1$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{y}{- 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{- 1}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{y}{- 1}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = - 1 \cdot y + \frac{- \frac{1}{4}}{- 1}$

Étape 5.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot y$ comme $- y$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = - y + \frac{- \frac{1}{4}}{- 1}$

Étape 5.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = - y + \frac{\frac{1}{4}}{1}$

Étape 5.3.1.4

Divisez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = - y + \frac{1}{4}$

Étape 6

Factorisez.

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Étape 6.1

Pour écrire $- y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = - y \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 6.2

Associez $- y$ et $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- y \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 6.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- y \cdot 4 + 1}{4}$

Étape 6.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- 4 y + 1}{4}$

Étape 6.5

Remettez les termes dans l’ordre.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{1}{4} (- 4 y + 1)$