Algèbre Exemples

$2 + 2 i$ , $- 1$ , $2$

Étape 1

Les racines sont les points où le graphe croise l’axe des x $(y = 0)$ .

$y = 0$ aux racines

Étape 2

La racine sur $x = 2 + 2 i$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (2 + 2 i) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x - 2 - 2 i$

Étape 3

La racine sur $x = 2 - 2 i$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (2 - 2 i) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x - 2 + 2 i$

Étape 4

La racine sur $x = - 1$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (- 1) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x + 1$

Étape 5

La racine sur $x = 2$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (2) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x - 2$

Étape 6

Associez tous les facteurs en une équation unique.

$y = (x - 2 - 2 i) (x - 2 + 2 i) (x + 1) (x - 2)$

Étape 7

Multipliez tous les facteurs pour simplifier l’équation $y = (x - 2 - 2 i) (x - 2 + 2 i) (x + 1) (x - 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Développez $(x - 2 - 2 i) (x - 2 + 2 i)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$y = (x \cdot x + x \cdot - 2 + x (2 i) - 2 x - 2 \cdot - 2 - 2 (2 i) - 2 i x - 2 i \cdot - 2 - 2 i (2 i)) (x + 1) (x - 2)$

Étape 7.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 2 + x (2 i) - 2 x - 2 \cdot - 2 - 2 (2 i) - 2 i x - 2 i \cdot - 2 - 2 i (2 i)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x (2 i)$ et $- 2 i x$ .

$y = (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 i x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 2 (2 i) - 2 i x - 2 i \cdot - 2 - 2 i (2 i)) (x + 1) (x - 2)$

Étape 7.2.1.2

Soustrayez $2 i x$ de $2 i x$ .

$y = (x \cdot x + x \cdot - 2 + 0 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 2 (2 i) - 2 i \cdot - 2 - 2 i (2 i)) (x + 1) (x - 2)$

Étape 7.2.1.3

Additionnez $x \cdot x + x \cdot - 2$ et $0$ .

$y = (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 2 (2 i) - 2 i \cdot - 2 - 2 i (2 i)) (x + 1) (x - 2)$

Étape 7.2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 2 (2 i) - 2 i \cdot - 2 - 2 i (2 i)) (x + 1) (x - 2)$

Étape 7.2.2.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$y = (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 2 (2 i) - 2 i \cdot - 2 - 2 i (2 i)) (x + 1) (x - 2)$

Étape 7.2.2.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$y = (x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 2 (2 i) - 2 i \cdot - 2 - 2 i (2 i)) (x + 1) (x - 2)$

Étape 7.2.2.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y = (x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 i - 2 i \cdot - 2 - 2 i (2 i)) (x + 1) (x - 2)$

Étape 7.2.2.5

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$y = (x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 i + 4 i - 2 i (2 i)) (x + 1) (x - 2)$

Étape 7.2.2.6

Multipliez $- 2 i (2 i)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.6.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y = (x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 i + 4 i - 4 i i) (x + 1) (x - 2)$

Étape 7.2.2.6.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = (x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 i + 4 i - 4 (i i)) (x + 1) (x - 2)$

Étape 7.2.2.6.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = (x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 i + 4 i - 4 (i i)) (x + 1) (x - 2)$

Étape 7.2.2.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = (x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 i + 4 i - 4 i^{1 + 1}) (x + 1) (x - 2)$

Étape 7.2.2.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = (x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 i + 4 i - 4 i^{2}) (x + 1) (x - 2)$

Étape 7.2.2.7

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = (x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 i + 4 i - 4 \cdot - 1) (x + 1) (x - 2)$

Étape 7.2.2.8

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = (x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 i + 4 i + 4) (x + 1) (x - 2)$

Étape 7.2.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 i + 4 i + 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1.1

Additionnez $- 4 i$ et $4 i$ .

$y = (x^{2} - 2 x - 2 x + 4 + 0 + 4) (x + 1) (x - 2)$

Étape 7.2.3.1.2

Additionnez $x^{2} - 2 x - 2 x + 4$ et $0$ .

$y = (x^{2} - 2 x - 2 x + 4 + 4) (x + 1) (x - 2)$

Étape 7.2.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$y = (x^{2} - 4 x + 4 + 4) (x + 1) (x - 2)$

Étape 7.2.3.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$y = (x^{2} - 4 x + 8) (x + 1) (x - 2)$

Étape 7.3

Développez $(x^{2} - 4 x + 8) (x + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$y = (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 1 + 8 x + 8 \cdot 1) (x - 2)$

Étape 7.4

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 1 + 8 x + 8 \cdot 1) (x - 2)$

Étape 7.4.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 1 + 8 x + 8 \cdot 1) (x - 2)$

Étape 7.4.1.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$y = (x^{3} + x^{2} \cdot 1 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 1 + 8 x + 8 \cdot 1) (x - 2)$

Étape 7.4.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$y = (x^{3} + x^{2} - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 1 + 8 x + 8 \cdot 1) (x - 2)$

Étape 7.4.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1.3.1

Déplacez $x$ .

$y = (x^{3} + x^{2} - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot 1 + 8 x + 8 \cdot 1) (x - 2)$

Étape 7.4.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = (x^{3} + x^{2} - 4 x^{2} - 4 x \cdot 1 + 8 x + 8 \cdot 1) (x - 2)$

Étape 7.4.1.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = (x^{3} + x^{2} - 4 x^{2} - 4 x + 8 x + 8 \cdot 1) (x - 2)$

Étape 7.4.1.5

Multipliez $8$ par $1$ .

$y = (x^{3} + x^{2} - 4 x^{2} - 4 x + 8 x + 8) (x - 2)$

Étape 7.4.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.2.1

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = (x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 8 x + 8) (x - 2)$

Étape 7.4.2.2

Additionnez $- 4 x$ et $8 x$ .

$y = (x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 8) (x - 2)$

Étape 7.5

Développez $(x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 8) (x - 2)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$y = x^{3} x + x^{3} \cdot - 2 - 3 x^{2} x - 3 x^{2} \cdot - 2 + 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2$

Étape 7.6

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.1.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.1.1.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.1.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = x^{3} x + x^{3} \cdot - 2 - 3 x^{2} x - 3 x^{2} \cdot - 2 + 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2$

Étape 7.6.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{3 + 1} + x^{3} \cdot - 2 - 3 x^{2} x - 3 x^{2} \cdot - 2 + 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2$

Étape 7.6.1.1.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$y = x^{4} + x^{3} \cdot - 2 - 3 x^{2} x - 3 x^{2} \cdot - 2 + 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2$

Étape 7.6.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x^{3}$ .

$y = x^{4} - 2 \cdot x^{3} - 3 x^{2} x - 3 x^{2} \cdot - 2 + 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2$

Étape 7.6.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.1.3.1

Déplacez $x$ .

$y = x^{4} - 2 x^{3} - 3 (x \cdot x^{2}) - 3 x^{2} \cdot - 2 + 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2$

Étape 7.6.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = x^{4} - 2 x^{3} - 3 (x \cdot x^{2}) - 3 x^{2} \cdot - 2 + 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2$

Étape 7.6.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{1 + 2} - 3 x^{2} \cdot - 2 + 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2$

Étape 7.6.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{3} - 3 x^{2} \cdot - 2 + 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2$

Étape 7.6.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$y = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2$

Étape 7.6.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.1.5.1

Déplacez $x$ .

$y = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{3} + 6 x^{2} + 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2$

Étape 7.6.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x^{2} + 4 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2$

Étape 7.6.1.6

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$y = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x^{2} - 8 x + 8 x + 8 \cdot - 2$

Étape 7.6.1.7

Multipliez $8$ par $- 2$ .

$y = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x^{2} - 8 x + 8 x - 16$

Étape 7.6.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.2.1

Associez les termes opposés dans $x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x^{2} - 8 x + 8 x - 16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.2.1.1

Additionnez $- 8 x$ et $8 x$ .

$y = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x^{2} + 0 - 16$

Étape 7.6.2.1.2

Additionnez $x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x^{2}$ et $0$ .

$y = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x^{2} - 16$

Étape 7.6.2.2

Soustrayez $3 x^{3}$ de $- 2 x^{3}$ .

$y = x^{4} - 5 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x^{2} - 16$

Étape 7.6.2.3

Additionnez $6 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$y = x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} - 16$

Étape 8