Algèbre Exemples

$- \frac{1}{2}$ , $0$ , $5$

Étape 1

Les racines sont les points où le graphe croise l’axe des x $(y = 0)$ .

$y = 0$ aux racines

Étape 2

La racine sur $x = - \frac{1}{2}$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (- \frac{1}{2}) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x + \frac{1}{2}$

Étape 3

La racine sur $x = 0$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (0) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x$

Étape 4

La racine sur $x = 5$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (5) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x - 5$

Étape 5

Associez tous les facteurs en une équation unique.

$y = (x + \frac{1}{2}) (x) (x - 5)$

Étape 6

Multipliez tous les facteurs pour simplifier l’équation $y = (x + \frac{1}{2}) (x) (x - 5)$ .

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Étape 6.1

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x \cdot x + \frac{1}{2} x) (x - 5)$

Étape 6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = (x^{2} + \frac{1}{2} x) (x - 5)$

Étape 6.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$y = (x^{2} + \frac{x}{2}) (x - 5)$

Étape 6.2

Développez $(x^{2} + \frac{x}{2}) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = x^{2} (x - 5) + \frac{x}{2} \cdot (x - 5)$

Étape 6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = x^{2} x + x^{2} \cdot - 5 + \frac{x}{2} \cdot (x - 5)$

Étape 6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = x^{2} x + x^{2} \cdot - 5 + \frac{x}{2} \cdot x + \frac{x}{2} \cdot - 5$

Étape 6.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 6.3.1.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = x^{2} x + x^{2} \cdot - 5 + \frac{x}{2} \cdot x + \frac{x}{2} \cdot - 5$

Étape 6.3.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 5 + \frac{x}{2} \cdot x + \frac{x}{2} \cdot - 5$

Étape 6.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} \cdot - 5 + \frac{x}{2} \cdot x + \frac{x}{2} \cdot - 5$

Étape 6.3.1.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $x^{2}$ .

$y = x^{3} - 5 \cdot x^{2} + \frac{x}{2} \cdot x + \frac{x}{2} \cdot - 5$

Étape 6.3.1.3

Multipliez $\frac{x}{2} x$ .

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Étape 6.3.1.3.1

Associez $\frac{x}{2}$ et $x$ .

$y = x^{3} - 5 x^{2} + \frac{x \cdot x}{2} + \frac{x}{2} \cdot - 5$

Étape 6.3.1.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = x^{3} - 5 x^{2} + \frac{x \cdot x}{2} + \frac{x}{2} \cdot - 5$

Étape 6.3.1.3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = x^{3} - 5 x^{2} + \frac{x \cdot x}{2} + \frac{x}{2} \cdot - 5$

Étape 6.3.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{3} - 5 x^{2} + \frac{x^{1 + 1}}{2} + \frac{x}{2} \cdot - 5$

Étape 6.3.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = x^{3} - 5 x^{2} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot - 5$

Étape 6.3.1.4

Associez $\frac{x}{2}$ et $- 5$ .

$y = x^{3} - 5 x^{2} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x \cdot - 5}{2}$

Étape 6.3.1.5

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$y = x^{3} - 5 x^{2} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 5 \cdot x}{2}$

Étape 6.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = x^{3} - 5 x^{2} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{5 x}{2}$

Étape 6.3.2

Pour écrire $- 5 x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = x^{3} - 5 x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{5 x}{2}$

Étape 6.3.3

Associez $- 5 x^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = x^{3} + \frac{- 5 x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{5 x}{2}$

Étape 6.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = x^{3} + \frac{- 5 x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2} - \frac{5 x}{2}$

Étape 6.3.5

Pour écrire $x^{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = x^{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{- 5 x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2} - \frac{5 x}{2}$

Étape 6.3.6

Associez $x^{3}$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{3} \cdot 2}{2} + \frac{- 5 x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2} - \frac{5 x}{2}$

Étape 6.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x^{3} \cdot 2 - 5 x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2} - \frac{5 x}{2}$

Étape 6.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x^{3} \cdot 2 - 5 x^{2} \cdot 2 + x^{2} - 5 x}{2}$

Étape 6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} \cdot 2 - 5 x^{2} \cdot 2 + x^{2} - 5 x$ .

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Étape 6.4.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} \cdot 2$ .

$y = \frac{x (x^{2} \cdot 2) - 5 x^{2} \cdot 2 + x^{2} - 5 x}{2}$

Étape 6.4.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 5 x^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{x (x^{2} \cdot 2) + x (- 5 x \cdot 2) + x^{2} - 5 x}{2}$

Étape 6.4.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$y = \frac{x (x^{2} \cdot 2) + x (- 5 x \cdot 2) + x \cdot x - 5 x}{2}$

Étape 6.4.1.4

Factorisez $x$ à partir de $- 5 x$ .

$y = \frac{x (x^{2} \cdot 2) + x (- 5 x \cdot 2) + x \cdot x + x \cdot - 5}{2}$

Étape 6.4.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} \cdot 2) + x (- 5 x \cdot 2)$ .

$y = \frac{x (x^{2} \cdot 2 - 5 x \cdot 2) + x \cdot x + x \cdot - 5}{2}$

Étape 6.4.1.6

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} \cdot 2 - 5 x \cdot 2) + x \cdot x$ .

$y = \frac{x (x^{2} \cdot 2 - 5 x \cdot 2 + x) + x \cdot - 5}{2}$

Étape 6.4.1.7

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} \cdot 2 - 5 x \cdot 2 + x) + x \cdot - 5$ .

$y = \frac{x (x^{2} \cdot 2 - 5 x \cdot 2 + x - 5)}{2}$

Étape 6.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$y = \frac{x (2 \cdot x^{2} - 5 x \cdot 2 + x - 5)}{2}$

Étape 6.4.3

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$y = \frac{x (2 x^{2} - 10 x + x - 5)}{2}$

Étape 6.4.4

Additionnez $- 10 x$ et $x$ .

$y = \frac{x (2 x^{2} - 9 x - 5)}{2}$

Étape 6.4.5

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.4.5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ et dont la somme est $b = - 9$ .

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Étape 6.4.5.1.1

Factorisez $- 9$ à partir de $- 9 x$ .

$y = \frac{x (2 x^{2} - 9 x - 5)}{2}$

Étape 6.4.5.1.2

Réécrivez $- 9$ comme $1$ plus $- 10$

$y = \frac{x (2 x^{2} + (1 - 10) x - 5)}{2}$

Étape 6.4.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x (2 x^{2} + 1 x - 10 x - 5)}{2}$

Étape 6.4.5.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = \frac{x (2 x^{2} + x - 10 x - 5)}{2}$

Étape 6.4.5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.4.5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{x ((2 x^{2} + x) - 10 x - 5)}{2}$

Étape 6.4.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{x (x (2 x + 1) - 5 (2 x + 1))}{2}$

Étape 6.4.5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$y = \frac{x ((2 x + 1) (x - 5))}{2}$

$y = \frac{x (2 x + 1) (x - 5)}{2}$

Étape 6.5

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{(x (2 x) + x \cdot 1) (x - 5)}{2}$

Étape 6.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{(2 x \cdot x + x \cdot 1) (x - 5)}{2}$

Étape 6.7

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = \frac{(2 x \cdot x + x) (x - 5)}{2}$

Étape 6.8

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.8.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{(2 (x \cdot x) + x) (x - 5)}{2}$

Étape 6.8.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{(2 x^{2} + x) (x - 5)}{2}$

Étape 6.9

Développez $(2 x^{2} + x) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 x^{2} (x - 5) + x (x - 5)}{2}$

Étape 6.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 5 + x (x - 5)}{2}$

Étape 6.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 5 + x \cdot x + x \cdot - 5}{2}$

Étape 6.10

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.10.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.10.1.1.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 5 + x \cdot x + x \cdot - 5}{2}$

Étape 6.10.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 6.10.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 5 + x \cdot x + x \cdot - 5}{2}$

Étape 6.10.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 5 + x \cdot x + x \cdot - 5}{2}$

Étape 6.10.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 5 + x \cdot x + x \cdot - 5}{2}$

Étape 6.10.1.2

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$y = \frac{2 x^{3} - 10 x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 5}{2}$

Étape 6.10.1.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{2 x^{3} - 10 x^{2} + x^{2} + x \cdot - 5}{2}$

Étape 6.10.1.4

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{2 x^{3} - 10 x^{2} + x^{2} - 5 x}{2}$

Étape 6.10.2

Additionnez $- 10 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x^{3} - 9 x^{2} - 5 x}{2}$

Étape 6.11

Divisez la fraction $\frac{2 x^{3} - 9 x^{2} - 5 x}{2}$ en deux fractions.

$y = \frac{2 x^{3} - 9 x^{2}}{2} + \frac{- 5 x}{2}$

Étape 6.12

Divisez la fraction $\frac{2 x^{3} - 9 x^{2}}{2}$ en deux fractions.

$y = \frac{2 x^{3}}{2} + \frac{- 9 x^{2}}{2} + \frac{- 5 x}{2}$

Étape 6.13

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.13.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 x^{3}}{2} + \frac{- 9 x^{2}}{2} + \frac{- 5 x}{2}$

Étape 6.13.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$y = x^{3} + \frac{- 9 x^{2}}{2} + \frac{- 5 x}{2}$

Étape 6.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = x^{3} - \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{- 5 x}{2}$

Étape 6.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = x^{3} - \frac{9 x^{2}}{2} - \frac{5 x}{2}$

Étape 7