Algèbre Exemples

${(3 - 2 x)}^{6}$

Étape 1

Le triangle de Pascal peut être affiché ainsi :

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

Le triangle peut être utilisé pour calculer les coefficients du développement de ${(a + b)}^{n}$ en prenant l’exposant $n$ et en ajoutant $1$ . Les coefficients correspondront à la droite $n + 1$ du triangle. Pour ${(3 - 2 x)}^{6}$ , $n = 6$ les coefficients du développement correspondront donc à la droite $7$ .

Étape 2

Le développement suit la règle ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Les valeurs des coefficients, à partir du triangle, sont $1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$ .

$1 a^{6} b^{0} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 a^{0} b^{6}$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a$ $3$ et $b$ $- 2 x$ dans l’expression.

$1 {(3)}^{6} {(- 2 x)}^{0} + 6 {(3)}^{5} {(- 2 x)}^{1} + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(3)}^{6}$ par $1$ .

${(3)}^{6} {(- 2 x)}^{0} + 6 {(3)}^{5} {(- 2 x)}^{1} + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.2

Élevez $3$ à la puissance $6$ .

$729 {(- 2 x)}^{0} + 6 {(3)}^{5} {(- 2 x)}^{1} + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.3

Appliquez la règle de produit à $- 2 x$ .

$729 ({(- 2)}^{0} x^{0}) + 6 {(3)}^{5} {(- 2 x)}^{1} + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$729 (1 x^{0}) + 6 {(3)}^{5} {(- 2 x)}^{1} + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.5

Multipliez $x^{0}$ par $1$ .

$729 x^{0} + 6 {(3)}^{5} {(- 2 x)}^{1} + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$729 \cdot 1 + 6 {(3)}^{5} {(- 2 x)}^{1} + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.7

Multipliez $729$ par $1$ .

$729 + 6 {(3)}^{5} {(- 2 x)}^{1} + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.8

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$729 + 6 \cdot 243 {(- 2 x)}^{1} + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.9

Multipliez $6$ par $243$ .

$729 + 1458 {(- 2 x)}^{1} + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.10

Simplifiez

$729 + 1458 (- 2 x) + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.11

Multipliez $- 2$ par $1458$ .

$729 - 2916 x + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.12

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$729 - 2916 x + 15 \cdot 81 {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.13

Multipliez $15$ par $81$ .

$729 - 2916 x + 1215 {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.14

Appliquez la règle de produit à $- 2 x$ .

$729 - 2916 x + 1215 ({(- 2)}^{2} x^{2}) + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.15

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$729 - 2916 x + 1215 (4 x^{2}) + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.16

Multipliez $4$ par $1215$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.17

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} + 20 \cdot 27 {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.18

Multipliez $20$ par $27$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} + 540 {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.19

Appliquez la règle de produit à $- 2 x$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} + 540 ({(- 2)}^{3} x^{3}) + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.20

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} + 540 (- 8 x^{3}) + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.21

Multipliez $- 8$ par $540$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.22

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 15 \cdot 9 {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.23

Multipliez $15$ par $9$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 135 {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.24

Appliquez la règle de produit à $- 2 x$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 135 ({(- 2)}^{4} x^{4}) + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.25

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 135 (16 x^{4}) + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.26

Multipliez $16$ par $135$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.27

Évaluez l’exposant.

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} + 6 \cdot 3 {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.28

Multipliez $6$ par $3$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} + 18 {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.29

Appliquez la règle de produit à $- 2 x$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} + 18 ({(- 2)}^{5} x^{5}) + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.30

Élevez $- 2$ à la puissance $5$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} + 18 (- 32 x^{5}) + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.31

Multipliez $- 32$ par $18$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} - 576 x^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.32

Multipliez ${(3)}^{0}$ par $1$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} - 576 x^{5} + {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.33

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} - 576 x^{5} + 1 {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.34

Multipliez ${(- 2 x)}^{6}$ par $1$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} - 576 x^{5} + {(- 2 x)}^{6}$

Étape 4.35

Appliquez la règle de produit à $- 2 x$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} - 576 x^{5} + {(- 2)}^{6} x^{6}$

Étape 4.36

Élevez $- 2$ à la puissance $6$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} - 576 x^{5} + 64 x^{6}$