Algèbre Exemples

$f (x) = 10 x^{3} - 25 x - x^{5}$

Étape 1

Définissez $10 x^{3} - 25 x - x^{5}$ égal à $0$ .

$10 x^{3} - 25 x - x^{5} = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $- x$ à partir de $10 x^{3} - 25 x - x^{5}$ .

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Étape 2.1.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 2.1.1.1.1

Déplacez $- 25 x$ .

$10 x^{3} - x^{5} - 25 x = 0$

Étape 2.1.1.1.2

Remettez dans l’ordre $10 x^{3}$ et $- x^{5}$ .

$- x^{5} + 10 x^{3} - 25 x = 0$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{5}$ .

$- x \cdot x^{4} + 10 x^{3} - 25 x = 0$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $- x$ à partir de $10 x^{3}$ .

$- x \cdot x^{4} - x (- 10 x^{2}) - 25 x = 0$

Étape 2.1.1.4

Factorisez $- x$ à partir de $- 25 x$ .

$- x \cdot x^{4} - x (- 10 x^{2}) - x \cdot 25 = 0$

Étape 2.1.1.5

Factorisez $- x$ à partir de $- x (x^{4}) - x (- 10 x^{2})$ .

$- x (x^{4} - 10 x^{2}) - x \cdot 25 = 0$

Étape 2.1.1.6

Factorisez $- x$ à partir de $- x (x^{4} - 10 x^{2}) - x (25)$ .

$- x (x^{4} - 10 x^{2} + 25) = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x ({(x^{2})}^{2} - 10 x^{2} + 25) = 0$

Étape 2.1.3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- x (u^{2} - 10 u + 25) = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1.4.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$- x (u^{2} - 10 u + 5^{2}) = 0$

Étape 2.1.4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$10 u = 2 \cdot u \cdot 5$

Étape 2.1.4.3

Réécrivez le polynôme.

$- x (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Étape 2.1.4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 5$ .

$- x {(u - 5)}^{2} = 0$

Étape 2.1.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- x {(x^{2} - 5)}^{2} = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

${(x^{2} - 5)}^{2} = 0$

Étape 2.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.4

Définissez ${(x^{2} - 5)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez ${(x^{2} - 5)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x^{2} - 5)}^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez ${(x^{2} - 5)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Définissez le $x^{2} - 5$ égal à $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

Étape 2.4.2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 5$

Étape 2.4.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Étape 2.4.2.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.4.2.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{5}$

Étape 2.4.2.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{5}$

Étape 2.4.2.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- x {(x^{2} - 5)}^{2} = 0$ vraie. La multiplicité d’une racine est le nombre de fois que la racine apparaît.

$x = 0$ (Multiplicité de $1$ )

$x = \sqrt{5}$ (Multiplicité de $2$ )

$x = - \sqrt{5}$ (Multiplicité de $2$ )

$x = 0$ (Multiplicité de $1$ )

$x = \sqrt{5}$ (Multiplicité de $2$ )

$x = - \sqrt{5}$ (Multiplicité de $2$ )

Étape 3