Algèbre Exemples

$x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2} - 16 x - 4$

Étape 1

Définissez $x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2} - 16 x - 4$ égal à $0$ .

$x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2} - 16 x - 4 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$4 x^{3} - 16 x + x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} - 16 x$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 16 x + x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) + x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x^{2} - 4) + x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 2^{2}) + x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez.

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Étape 2.1.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$4 x ((x + 2) (x - 2)) + x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Étape 2.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 x (x + 2) (x - 2) + x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Étape 2.1.5

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 x (x + 2) (x - 2) + {(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Étape 2.1.6

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$4 x (x + 2) (x - 2) + u^{2} - 3 u - 4 = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez $u^{2} - 3 u - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 4, 1$

Étape 2.1.7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$4 x (x + 2) (x - 2) + (u - 4) (u + 1) = 0$

Étape 2.1.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$4 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 4) (x^{2} + 1) = 0$

Étape 2.1.9

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$4 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 1) = 0$

Étape 2.1.10

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$4 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) = 0$

Étape 2.1.11

Factorisez $(x + 2) (x - 2)$ à partir de $4 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ .

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Étape 2.1.11.1

Factorisez $(x + 2) (x - 2)$ à partir de $4 x (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (4 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) = 0$

Étape 2.1.11.2

Factorisez $(x + 2) (x - 2)$ à partir de $(x + 2) (x - 2) (4 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ .

$(x + 2) (x - 2) (4 x + x^{2} + 1) = 0$

Étape 2.1.12

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 4 x + 1) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.5

Définissez $x^{2} + 4 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x^{2} + 4 x + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 4$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez

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Étape 2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.3.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.5.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.5.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Étape 2.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.4.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 2.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.4.1.3

Soustrayez $4$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.4.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.5.2.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.5.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Étape 2.5.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{3}$

Étape 2.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.5.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 2.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.3

Soustrayez $4$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.5.2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.5.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Étape 2.5.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{3}$

Étape 2.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 4 x + 1) = 0$ vraie. La multiplicité d’une racine est le nombre de fois que la racine apparaît.

$x = - 2$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 2$ (Multiplicité de $1$ )

$x = - 2 + \sqrt{3}$ (Multiplicité de $1$ )

$x = - 2 - \sqrt{3}$ (Multiplicité de $1$ )

$x = - 2$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 2$ (Multiplicité de $1$ )

$x = - 2 + \sqrt{3}$ (Multiplicité de $1$ )

$x = - 2 - \sqrt{3}$ (Multiplicité de $1$ )

Étape 3