Algèbre Exemples

$3 x^{2} + 4 x - 5$

Étape 1

Le minimum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est positif, la valeur minimale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 2

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{4}{2 (3)}$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{4}{2 (3)}$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 3$ .

$x = - \frac{2 \cdot 2}{2 (3)}$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 3

Évaluez $f (- \frac{2}{3})$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{2}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Étape 3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (1 (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Étape 3.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3^{2}}) + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Étape 3.2.1.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{9}) + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Étape 3.2.1.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3 (3)}) + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Étape 3.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3 \cdot 3}) + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Étape 3.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Étape 3.2.1.7

Multipliez $4 (- \frac{2}{3})$ .

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Étape 3.2.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - 4 (\frac{2}{3}) - 5$

Étape 3.2.1.7.2

Associez $- 4$ et $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 2}{3} - 5$

Étape 3.2.1.7.3

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{- 8}{3} - 5$

Étape 3.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} - 5$

Étape 3.2.2

Associez les fractions.

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Étape 3.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{2}{3}) = - 5 + \frac{4 - 8}{3}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.2.2.1

Soustrayez $8$ de $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - 5 + \frac{- 4}{3}$

Étape 3.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{2}{3}) = - 5 - \frac{4}{3}$

Étape 3.2.3

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - 5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Étape 3.2.4

Associez $- 5$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 5 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Étape 3.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 5 \cdot 3 - 4}{3}$

Étape 3.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.6.1

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 15 - 4}{3}$

Étape 3.2.6.2

Soustrayez $4$ de $- 15$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 19}{3}$

Étape 3.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{19}{3}$

Étape 3.2.8

La réponse finale est $- \frac{19}{3}$ .

$- \frac{19}{3}$

Étape 4

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le minimum.

$(- \frac{2}{3}, - \frac{19}{3})$

Étape 5