Algèbre Exemples

$f (x) = 0.25 {(2 x - 15)}^{2} + 150$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(2 x - 15)}^{2}$ comme $(2 x - 15) (2 x - 15)$ .

$f (x) = 0.25 ((2 x - 15) (2 x - 15)) + 150$

Étape 1.2

Développez $(2 x - 15) (2 x - 15)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = 0.25 (2 x (2 x - 15) - 15 (2 x - 15)) + 150$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = 0.25 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 15 - 15 (2 x - 15)) + 150$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = 0.25 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 15 - 15 (2 x) - 15 \cdot - 15) + 150$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x) = 0.25 (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 15 - 15 (2 x) - 15 \cdot - 15) + 150$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f (x) = 0.25 (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 15 - 15 (2 x) - 15 \cdot - 15) + 150$

Étape 1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x) = 0.25 (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 15 - 15 (2 x) - 15 \cdot - 15) + 150$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (x) = 0.25 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 15 - 15 (2 x) - 15 \cdot - 15) + 150$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $- 15$ par $2$ .

$f (x) = 0.25 (4 x^{2} - 30 x - 15 (2 x) - 15 \cdot - 15) + 150$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 15$ .

$f (x) = 0.25 (4 x^{2} - 30 x - 30 x - 15 \cdot - 15) + 150$

Étape 1.3.1.6

Multipliez $- 15$ par $- 15$ .

$f (x) = 0.25 (4 x^{2} - 30 x - 30 x + 225) + 150$

Étape 1.3.2

Soustrayez $30 x$ de $- 30 x$ .

$f (x) = 0.25 (4 x^{2} - 60 x + 225) + 150$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = 0.25 (4 x^{2}) + 0.25 (- 60 x) + 0.25 \cdot 225 + 150$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $0.25 (4 x^{2})$ .

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Étape 1.5.1.1

Multipliez $4$ par $0.25$ .

$f (x) = 1 x^{2} + 0.25 (- 60 x) + 0.25 \cdot 225 + 150$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f (x) = x^{2} + 0.25 (- 60 x) + 0.25 \cdot 225 + 150$

Étape 1.5.2

Multipliez $- 60$ par $0.25$ .

$f (x) = x^{2} - 15 x + 0.25 \cdot 225 + 150$

Étape 1.5.3

Multipliez $0.25$ par $225$ .

$f (x) = x^{2} - 15 x + 56.25 + 150$

Étape 2

Additionnez $56.25$ et $150$ .

$f (x) = x^{2} - 15 x + 206.25$

Étape 3

Le minimum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est positif, la valeur minimale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 4

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{- 15}{2 (1)}$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{- 15}{2 (1)}$

Étape 4.3

Simplifiez $- \frac{- 15}{2 (1)}$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = - \frac{- 15}{2}$

Étape 4.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - - \frac{15}{2}$

Étape 4.3.3

Multipliez $- - \frac{15}{2}$ .

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Étape 4.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1 (\frac{15}{2})$

Étape 4.3.3.2

Multipliez $\frac{15}{2}$ par $1$ .

$x = \frac{15}{2}$

Étape 5

Évaluez $f (\frac{15}{2})$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{15}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{15}{2}) = {(\frac{15}{2})}^{2} - 15 (\frac{15}{2}) + 206.25$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{15}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{15^{2}}{2^{2}} - 15 (\frac{15}{2}) + 206.25$

Étape 5.2.1.2

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{2^{2}} - 15 (\frac{15}{2}) + 206.25$

Étape 5.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - 15 (\frac{15}{2}) + 206.25$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $- 15 (\frac{15}{2})$ .

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Étape 5.2.1.4.1

Associez $- 15$ et $\frac{15}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} + \frac{- 15 \cdot 15}{2} + 206.25$

Étape 5.2.1.4.2

Multipliez $- 15$ par $15$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} + \frac{- 225}{2} + 206.25$

Étape 5.2.1.5

Annulez le facteur commun à $- 225$ et $2$ .

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Étape 5.2.1.5.1

Réécrivez $- 225$ comme $1 (- 225)$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} + \frac{1 (- 225)}{2} + 206.25$

Étape 5.2.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1.5.2.1

Réécrivez $2$ comme $1 (2)$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} + \frac{1 \cdot - 225}{1 \cdot 2} + 206.25$

Étape 5.2.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} + \frac{1 \cdot - 225}{1 \cdot 2} + 206.25$

Étape 5.2.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} + \frac{- 225}{2} + 206.25$

Étape 5.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - \frac{225}{2} + 206.25$

Étape 5.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 5.2.2.1

Multipliez $\frac{225}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - (\frac{225}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 206.25$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $\frac{225}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - \frac{225 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 206.25$

Étape 5.2.2.3

Écrivez $206.25$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - \frac{225 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{206.25}{1}$

Étape 5.2.2.4

Multipliez $\frac{206.25}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - \frac{225 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{206.25}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 5.2.2.5

Multipliez $\frac{206.25}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - \frac{225 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{206.25 \cdot 4}{4}$

Étape 5.2.2.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - \frac{225 \cdot 2}{4} + \frac{206.25 \cdot 4}{4}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225 - 225 \cdot 2 + 206.25 \cdot 4}{4}$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1

Multipliez $- 225$ par $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225 - 450 + 206.25 \cdot 4}{4}$

Étape 5.2.4.2

Multipliez $206.25$ par $4$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225 - 450 + 825}{4}$

Étape 5.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.5.1

Soustrayez $450$ de $225$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{- 225 + 825}{4}$

Étape 5.2.5.2

Additionnez $- 225$ et $825$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{600}{4}$

Étape 5.2.5.3

Divisez $600$ par $4$ .

$f (\frac{15}{2}) = 150$

Étape 5.2.6

La réponse finale est $150$ .

$150$

Étape 6

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le minimum.

$(\frac{15}{2}, 150)$

Étape 7