Algèbre Exemples

$\frac{1}{2}$ , $- \frac{1}{4}$ , $\frac{1}{8}$ , $- \frac{1}{16}$

Étape 1

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par $- \frac{1}{2}$ produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique : $r = - \frac{1}{2}$

Étape 2

C’est la forme d’une séquence géométrique.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Étape 3

Remplacez les valeurs de $a_{1} = \frac{1}{2}$ et $r = - \frac{1}{2}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$

Étape 4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} ({(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{2})}^{n - 1})$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Étape 5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$a_{n} = \frac{1}{2} ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{2^{n - 1}})$

Étape 6

Associez ${(- 1)}^{n - 1}$ et $\frac{1}{2^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Étape 7

Associez.

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2 \cdot 2^{n - 1}}$

Étape 8

Multipliez $2$ par $2^{n - 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.1

Multipliez $2$ par $2^{n - 1}$ .

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Étape 8.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2^{1} \cdot 2^{n - 1}}$

Étape 8.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2^{1 + n - 1}}$

Étape 8.2

Associez les termes opposés dans $1 + n - 1$ .

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Étape 8.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2^{n + 0}}$

Étape 8.2.2

Additionnez $n$ et $0$ .

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2^{n}}$

Étape 9

Multipliez ${(- 1)}^{n - 1}$ par $1$ .

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{2^{n}}$

Étape 10

Cette formule permet de déterminer la somme des $n$ premiers termes de la séquence géométrique. Pour l’évaluer, déterminez les valeurs de $r$ et $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Étape 11

Remplacez les variables par les valeurs connues pour déterminer $S_{4}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(- \frac{1}{2})}^{4} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

Étape 12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 12.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

Étape 12.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(- 1)}^{4} (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

Étape 12.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

Étape 12.3

Multipliez $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ par $1$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1^{4}}{2^{4}} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

Étape 12.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2^{4}} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

Étape 12.5

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{16} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

Étape 12.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

Étape 12.7

Associez $- 1$ et $\frac{16}{16}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

Étape 12.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1 - 1 \cdot 16}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

Étape 12.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.9.1

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1 - 16}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

Étape 12.9.2

Soustrayez $16$ de $1$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{- 15}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

Étape 12.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

Étape 13

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 13.2

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 13.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 13.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{- 1 - 2}{2}}$

Étape 13.4.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{- 3}{2}}$

Étape 13.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{- \frac{3}{2}}$

Étape 14

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{15}{16}}{\frac{3}{2}}$

Étape 15

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{15}{16} \cdot \frac{2}{3})$

Étape 16

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 16.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3 (5)}{16} \cdot \frac{2}{3})$

Étape 16.2

Annulez le facteur commun.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3 \cdot 5}{16} \cdot \frac{2}{3})$

Étape 16.3

Réécrivez l’expression.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{16} \cdot 2)$

Étape 17

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{2 (8)} \cdot 2)$

Étape 17.2

Annulez le facteur commun.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{2 \cdot 8} \cdot 2)$

Étape 17.3

Réécrivez l’expression.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8}$

Étape 18

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8}$ .

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Étape 18.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{5}{8}$ .

$S_{4} = \frac{5}{2 \cdot 8}$

Étape 18.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$S_{4} = \frac{5}{16}$